De functie wordt gegeven door . De lijn met vergelijking snijdt de grafiek van in de punten en . Zie figuur 1.
Bereken exact de coördinaten van en .
Klaar met deze vraag?
Of laat de AI-docent jouw antwoord nakijken:
Een parabool
Opgave 1 (vraag 1 t/m 4) uit eindexamen Wiskunde B HAVO 2025 tijdvak 1
Bij elke vraag: uitleg stap voor stap, het antwoordmodel en feedback van de AI-docent.
Uitleg bij vraag 1
Kom je er niet uit? Begin met een hint. Klaar? Bekijk stap voor stap hoe je alle punten haalt.
Wat wordt er gevraagd?
Je zoekt de snijpunten van de parabool en de lijn , en geeft hun coördinaten exact (dus als breuken, niet als decimalen). Dit test het oplossen van een kwadratische vergelijking.
Zo pak je het aan
In een snijpunt hebben de twee grafieken dezelfde . Stel de formules daarom aan elkaar gelijk en herleid naar nul.
- geeft .
- Los dit exact op, bijvoorbeeld met ontbinden: . Met de abc-formule kan ook: , dus .
- Dat geeft of .
- Vul elke in de lijn in, want die formule is het eenvoudigst: en .
In figuur 1 ligt links onder de -as en rechts, vlak boven de -as. Dat klopt met de uitkomst.
Antwoord voor alle punten
en . Je krijgt 1 punt voor de vergelijking , 1 punt voor het beschrijven (of uitvoeren) van een exacte oplossingsmethode, 1 punt voor beide -waarden en 1 punt voor beide -waarden.
Let op
Alleen een antwoord uit de grafische rekenmachine (snijpunt) is niet genoeg: de opgave vraagt om "exact", dus je moet de vergelijking zelf oplossen of de methode beschrijven. Vergeet niet om ook de -coördinaten te berekenen: gevraagd zijn punten, geen -waarden. Zet de vergelijking eerst gelijk aan nul voordat je gaat ontbinden of de abc-formule gebruikt, anders ontbind je een verkeerde vorm.
Vraag 2
[D] Toegepaste analyse[D4] Toepassing afgeleide functies
3p
Het punt ligt op de grafiek van . De raaklijn aan de grafiek van in het punt staat loodrecht op lijn .
Bereken exact de x-coördinaat van .
Klaar met deze vraag?
Of laat de AI-docent jouw antwoord nakijken:
Uitleg bij vraag 2
Kom je er niet uit? Begin met een hint. Klaar? Bekijk stap voor stap hoe je alle punten haalt.
Wat wordt er gevraagd?
Je zoekt de -coördinaat van het punt op de parabool waar de raaklijn loodrecht op lijn staat. Dit combineert de afgeleide (de helling van de raaklijn) met de regel voor loodrechte lijnen.
Zo pak je het aan
- De afgeleide geeft de helling van de raaklijn: .
- Lijn is , dus de richtingscoëfficiënt van is .
- Loodrechte lijnen hebben richtingscoëfficiënten met product . De raaklijn heeft dus richtingscoëfficiënt .
- Los op wanneer de helling van de raaklijn is: , dus en .
Antwoord voor alle punten
. Je krijgt 1 punt voor , 1 punt voor de gedachte dat moet gelden (de vergelijking ) en 1 punt voor de oplossing.
Let op
Een veelgemaakte slip is de helling nemen in plaats van : dan vergeet je dat het product van de richtingscoëfficiënten moet zijn. Schrijf het antwoord als breuk, want de opgave vraagt om een exacte waarde.
De grafiek van wordt eerst vermenigvuldigd met -1 ten opzichte van de x-as en daarna vermenigvuldigd met -1 ten opzichte van de y-as. Zo ontstaat de grafiek van de functie .
Onderzoek op exacte wijze of het punt op de grafiek van ligt.
Klaar met deze vraag?
Of laat de AI-docent jouw antwoord nakijken:
Uitleg bij vraag 3
Kom je er niet uit? Begin met een hint. Klaar? Bekijk stap voor stap hoe je alle punten haalt.
Wat wordt er gevraagd?
Je moet exact nagaan of het punt op de grafiek van ligt. De grafiek van ontstaat door twee keer te spiegelen (vermenigvuldigen met ), eerst ten opzichte van de -as en dan ten opzichte van de -as. Dit test het opstellen van een formule bij een transformatie.
Zo pak je het aan
Je kunt de formule van opstellen, of het punt terugtransformeren naar de grafiek van . Hieronder de eerste weg.
- Vermenigvuldigen met ten opzichte van de -as: .
- Daarna vermenigvuldigen met ten opzichte van de -as: vervang door . Dat geeft .
- Vul in. Dan is , dus .
Antwoord voor alle punten
", en dat is niet 3, dus het punt ligt niet op de grafiek van ." Je krijgt 1 punt voor de transformatie ten opzichte van de -as, 1 punt voor die ten opzichte van de -as en 1 punt voor de berekening met de conclusie.
Let op
Het model accepteert ook de omgekeerde weg: draai het punt terug. Spiegelen in de -as geeft , spiegelen in de -as geeft . Dan moet je berekenen en vaststellen dat dit niet is. Noem altijd de conclusie ("ligt niet op de grafiek"), anders mis je het laatste punt.
Op de grafiek van liggen twee punten en met dezelfde y-coördinaat. De afstand tussen en is . Zie figuur 2. Het punt is de top van de grafiek van .
Bereken exact de afstand van tot lijnstuk .
Klaar met deze vraag?
Of laat de AI-docent jouw antwoord nakijken:
Uitleg bij vraag 4
Kom je er niet uit? Begin met een hint. Klaar? Bekijk stap voor stap hoe je alle punten haalt.
Wat wordt er gevraagd?
Je berekent exact de afstand van de top van de parabool tot het lijnstuk , waarbij en op dezelfde hoogte liggen en uit elkaar. Dit test de symmetrie van een parabool en het berekenen van de top.
Zo pak je het aan
- De top ligt op de symmetrieas, waar : geeft .
- .
- en liggen symmetrisch ten opzichte van de symmetrieas, elk ervan af. Dus en .
- .
- De afstand van tot is het verschil in hoogte: .
Antwoord voor alle punten
De afstand is . Punten: 1 voor met een exacte berekening, 1 voor , 1 voor (of ) op basis van symmetrie, 1 voor (of ) en 1 voor de afstand.
Let op
Een tweede route is toegestaan: noem de van gelijk aan , dan geldt . Herleid dat tot , dus en . Daarna volgen en op dezelfde manier. De afstand is een lengte: het antwoord is positief, dus en niet .