Scheepsgolven

Opgave 3 (vraag 9 t/m 12) uit eindexamen Wiskunde A VWO 2025 tijdvak 2

Vraag 9

[D] Verandering [D3] Afgeleide[Getal en Ruimte] H5: Machtsverbanden

4p

Golven op het water kunnen op verschillende manieren ontstaan, bijvoorbeeld door wind of door schepen. In deze opgave bekijken we golven die ontstaan door een varend schip. De golflengte is de afstand tussen twee opeenvolgende golftoppen. Zie figuur 1.

Golven verplaatsen zich over het water. De snelheid waarmee een golf zich over het water verplaatst, is afhankelijk van de golflengte. Het verband tussen de golflengte en de snelheid waarmee een golf zich verplaatst, wordt gegeven door de volgende formule:

V=1,25 \cdot \sqrt{L}

(formule 1) Hierbij is $L$ de golflengte in meters en $V$ de snelheid waarmee de golf zich verplaatst in meter per seconde.

Als $L$ toeneemt, dan neemt ook $V$ toe. De grafiek van $V$ is dus stijgend.

Stel een formule op voor de afgeleide van $V$ en beredeneer met behulp hiervan of de stijging afnemend of toenemend is.

Figuur 1 bij vraag 9 van opgave Scheepsgolven (Wiskunde A VWO 2025)

Voor nakijken en persoonlijke tips van de AI-docent: Maak een foto van jouw antwoord of type het in.

Vraag 11

[C] Verbanden [C1] Standaardfuncties[Getal en Ruimte] H5: Machtsverbanden

5p

Een schip en de golf die door dat varende schip ontstaat, verplaatsen zich met gelijke snelheid (samen) door het water. Als een schip langzaam vaart, dan ontstaat er langs het schip een golf zoals in figuur 2. Er zijn dan meerdere toppen van de golf zichtbaar langs de zijkant van het schip. In figuur 2 is tevens een assenstelsel toegevoegd.

De voorkant van het schip valt samen met een top van de golf. Omdat het schip en de golf samen dezelfde kant op bewegen, blijft die top tijdens het varen samenvallen met de voorkant van het schip.

Een schip van 30 meter lang vaart met een snelheid van 3 meter per seconde. De golf die door het varen ontstaat heeft een amplitude van 15 centimeter.

De golf is te beschrijven met de formule:

h=15 \cdot \sin(a(x-b))

(formule 2) Hierbij is $h$ de hoogte ten opzichte van de evenwichtsstand in centimeters en $x$ de afstand vanaf de voorkant van het schip in meters, met $0 \le x \le 30$ .

De waarden van $a$ en $b$ in formule 2 zijn te berekenen door gebruik te maken van formule 1.

Bereken $a$ en $b$ in formule 2. Geef $a$ en $b$ in twee decimalen.

Figuur 1 bij vraag 11 van opgave Scheepsgolven (Wiskunde A VWO 2025)

Voor nakijken en persoonlijke tips van de AI-docent: Maak een foto van jouw antwoord of type het in.

Vraag 12

[C] Verbanden [C2] Functies, grafieken, vergelijkingen en ongelijkheden [Getal en Ruimte] H13: Allerlei formules

4p

Om de hoogte van de golven van een schip te verkleinen, is de bulbsteven uitgevonden. De bulbsteven is een uitstekende bult aan de voorkant van een schip. Zie de foto.

Normaal gesproken bevindt de bulbsteven zich (grotendeels) onder water. Omdat het schip op de foto geen lading vervoert, is de bulbsteven boven water zichtbaar. Zowel het schip als de bulbsteven veroorzaken een golf. De golf van de bulbsteven dempt de golf van het schip gedeeltelijk.

Een schip met een lengte van 100 meter veroorzaakt bij een bepaalde vaarsnelheid een golf met de formule:

h_{schip}(x)=50 \cdot \sin(\frac{\pi}{15}(x+7,5))

en de bulbsteven van het schip veroorzaakt een golf met de formule:

h_{bulb}(x)=30 \cdot \sin(\frac{\pi}{15}(x-6))

Hierbij zijn $h_{schip}$ en $h_{bulb}$ de hoogtes ten opzichte van de evenwichtsstand in centimeters en is $x$ de afstand vanaf de voorkant van het schip in meters met $0 \le x \le 100$ .

De formule die hoort bij de gecombineerde golf van het schip en de bulbsteven wordt verkregen door $h_{schip}$ en $h_{bulb}$ op te tellen. Zie figuur 3.

De amplitude van de gecombineerde golf is kleiner dan de amplitude van de golf van het schip zonder de bulbsteven.

Bereken hoeveel de amplitude van de gecombineerde golf kleiner is dan de amplitude van de golf van het schip zonder de bulbsteven. Geef je antwoord in gehele centimeters.

Figuur 1 bij vraag 12 van opgave Scheepsgolven (Wiskunde A VWO 2025)

Voor nakijken en persoonlijke tips van de AI-docent: Maak een foto van jouw antwoord of type het in.

Antwoordmodel

Vraag 9

4 punten

maximumscore 4

$V=1,25 \cdot L^{0,5}$ [1]
$\frac{dV}{dL}=1,25 \cdot 0,5 \cdot L^{-0,5}$ (of een vergelijkbare uitdrukking) [1]
Een redenatie, schets of getallenvoorbeeld waaruit blijkt dat als $L$ groter wordt, $\frac{dV}{dL}$ kleiner wordt [1]
De conclusie dat de stijging afnemend is [1]

Vraag 10

2 punten

maximumscore 2

Het invullen van $2L$ in de formule geeft $V=1,25 \cdot \sqrt{2L}$ [1]
Herleiden tot $V=1,25 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{L}(=\sqrt{2} \cdot 1,25 \cdot \sqrt{L})$ , dus de gevraagde factor is 1,41 [1]

Vraag 11

5 punten

maximumscore 5

Het inzicht dat de vergelijking $1,25 \cdot \sqrt{L}=3$ moet worden opgelost [1]
Dit geeft $L=5,76$ (m) [1]
Hieruit volgt $(\frac{2\pi}{5,76}=1,09\ldots$ dus) $a=1,09$ [1]
Het inzicht dat de gevraagde golf een horizontale translatie van een kwart van de golflengte naar links (of $\frac{3}{4}$ van de golflengte naar rechts of een andere correcte translatie) heeft ondergaan [1]
Dus $b=-1,44$ (of $b=4,32$ of een andere correcte waarde) [1]

of

Het inzicht dat de vergelijking $1,25 \cdot \sqrt{L}=3$ moet worden opgelost [1]
Dit geeft $L=5,76$ (m) [1]
$(\frac{2\pi}{5,76}=1,09\ldots$ dus) $a=1,09$ [1]
Beschrijven hoe de vergelijking $15=15 \cdot \sin(1,09\ldots(0-b))$ opgelost kan worden [1]
Dit geeft $b=-1,44$ (of $b=4,32$ of een andere correcte waarde) [1]

Vraag 12

4 punten

maximumscore 4

De amplitude van de golf van het schip zonder bulbsteven is 50 (cm) [1]
Beschrijven hoe de amplitude van de gecombineerde golf bepaald kan worden [1]
Deze amplitude is 23,38... (cm) [1]
$(50-23,38\ldots=26,61\ldots$ , dus) 27 (cm) (kleiner) [1]

Volgende opgave: Batterijspanning →