Dauwpunt

Opgave 1 (vraag 1 t/m 4) uit eindexamen Wiskunde A VWO 2022 tijdvak 2

Vraag 1

[B] Algebra en tellen [B1] Algebra [Getal en Ruimte] H10: Exponenten en logaritmen

3p

Als je op een zomerse dag een glas limonade op tafel zet, dan kan het glas binnen de kortste keren aan de buitenkant nat zijn. Dat komt doordat waterdamp uit de lucht neerslaat op het glas. We noemen dat condens. Condens ontstaat als de temperatuur van het glas lager is dan het zogenaamde dauwpunt: de temperatuur waarbij waterdamp uit de lucht condenseert.

Het dauwpunt $T_{\mathrm{d}}$ in $^{\circ}\text{C}$ is afhankelijk van de luchttemperatuur en de luchtvochtigheid en kan worden berekend met formule 1:

T_{\mathrm{d}} = \frac{237,7 \cdot G}{17,27 - G}, \text{ met } G = \frac{17,27 \cdot L}{237,7 + L} + \ln\left(\frac{R}{100}\right) \quad \text{(formule 1)}

Hierin is $L$ de luchttemperatuur in $^{\circ}\text{C}$ en $R$ de (relatieve) luchtvochtigheid in % (met $0 < R \leq 100$ ).

Hoewel de eerste condens al eerder ontstaat, is de condens pas goed zichtbaar als de temperatuur van het glas minimaal $3^{\circ}\text{C}$ onder het dauwpunt ligt.

Op een dag is de luchttemperatuur $23^{\circ}\text{C}$ en de luchtvochtigheid $65\%$ . Op tafel staat een glas limonade. Het glas heeft een temperatuur van $12^{\circ}\text{C}$ . Onderzoek of er dan goed zichtbare condens op het glas ontstaat.

Voor nakijken en persoonlijke tips van de AI-docent: Maak een foto van jouw antwoord of type het in.

Vraag 2

[B] Algebra en tellen [B1] Algebra [Getal en Ruimte] H10: Exponenten en logaritmen

5p

Er wordt vaak gezegd dat een hoge luchtvochtigheid oncomfortabel is. Amerikaans onderzoek toonde echter aan dat comfortgevoel niet alleen bepaald wordt door de luchtvochtigheid, maar ook door het dauwpunt. In de tabel wordt het verband tussen het dauwpunt en het comfortgevoel aangegeven.

dauwpunt (°C)	comfortgevoel
≥ 26	ernstig onaangenaam
24 - < 26	zeer onaangenaam
21 - < 24	behoorlijk onaangenaam
18 - < 21	enigszins onaangenaam
16 - < 18	voor de meeste mensen acceptabel
13 - < 16	comfortabel
10 - < 13	zeer comfortabel
< 10	aan de droge kant

De zomer van 2018 was in heel Europa erg warm. Bij een hoge luchttemperatuur is het dauwpunt ook hoog en dan wordt de luchttemperatuur dus als onaangenaam ervaren. In Nederland liep de temperatuur op tot 33 °C en in het zuiden van Spanje zelfs tot 46 °C.

In Nederland werd de maximumtemperatuur als zeer onaangenaam ervaren, terwijl in Spanje de veel hogere maximumtemperatuur dankzij een lage luchtvochtigheid als enigszins onaangenaam werd ervaren.

Bereken de minimale luchtvochtigheid in Nederland bij de maximumtemperatuur in de zomer van 2018. Geef je antwoord in hele procenten.

Voor nakijken en persoonlijke tips van de AI-docent: Maak een foto van jouw antwoord of type het in.

Antwoordmodel

Vraag 1

3 punten

maximumscore 3

uitkomst: zichtbare condens (ja) voorbeeld van een antwoord:

Bereken $G$ : $G = \frac{17,27 \cdot 23}{237,7 + 23} + \ln\!\left(\frac{65}{100}\right) = 1,09\ldots$ [1]
Bereken $T_{\mathrm d}$ : $T_{\mathrm d} = \dfrac{237,7 \cdot 1,09\ldots}{17,27 - 1,09\ldots} = 16,0\ldots\ ^{\circ}\text{C}$ [1]
Vergelijk met glastemperatuur: $16,0\ldots - 12 = 4,0\ldots\ ^{\circ}\text{C} \ge 3^{\circ}\text{C}$ , dus goed zichtbare condens ontstaat [1]

Vraag 2

5 punten

maximumscore 5

uitkomst: $60\%$ voorbeeld van een antwoord:

Bij een lagere luchtvochtigheid hoort een lager dauwpunt (dus voor "zeer onaangenaam" moet $T_{\mathrm d} \ge 24$ ) [1]
Los $24 = \dfrac{237,7 \cdot G}{17,27 - G}$ op en vind $G = 1,58\ldots$ [1]
Gebruik $G = \dfrac{17,27 \cdot 33}{237,7 + 33} + \ln\!\left(\dfrac{R}{100}\right)$ [1]
Los $\dfrac{17,27 \cdot 33}{237,7 + 33} + \ln\!\left(\dfrac{R}{100}\right) = 1,58\ldots$ op [1]
Oplossing $R = 59,3\ldots$ , dus minimaal $60\%$ (afgerond) [1]

Vraag 3

4 punten

maximumscore 4

voorbeeld van een antwoord:

Begin met $G = \dfrac{17,27 \cdot 20}{237,7 + 20} + \ln\!\left(\dfrac{R}{100}\right)$ [1]
Schrijf $\ln\!\left(\dfrac{R}{100}\right) = \ln(R) - \ln(100)$ en bereken $\dfrac{17,27 \cdot 20}{237,7 + 20} = 1,34\ldots$ zodat $G = 1,34\ldots + \ln(R) - \ln(100)$ [1]
Omdat $\ln(100) = 4,6052\ldots$ geldt $G = \ln(R) - 3,2648\ldots$ [1]
Vervang in $T_{\mathrm d} = \dfrac{237,7 \cdot G}{17,27 - G}$ en herleid tot $T_{\mathrm d} = \dfrac{237,7 \cdot (\ln(R) - 3,2648\ldots)}{20,5348\ldots - \ln(R)} \approx \dfrac{237,7 \cdot (\ln(R) - 3,265)}{20,535 - \ln(R)}$ [1]

Vraag 4

3 punten

maximumscore 3

uitkomst: niet schadelijk voorbeeld van een antwoord:

Los met formule 2 de vergelijking $\dfrac{237,7 \cdot (\ln(R) - 3,265)}{20,535 - \ln(R)} = 3$ op [1]
Oplossing $R = 32,4\ldots\%$ [1]
Omdat $32,4\ldots\% > 30\%$ is de luchtvochtigheid niet schadelijk [1]

Volgende opgave: Skûtsjesilen →