Thermosflessen

Opgave 3 (vraag 4 t/m 5) uit eindexamen Wiskunde B VWO 2026 tijdvak 2

Vraag 4

[A] Vaardigheden[A3] Wiskundige vaardigheden[Getal en Ruimte] H9: Exponentiële en logaritmische functies[Moderne Wiskunde] H14: Exponentiële en logaritmische functies

6p

Thermosflessen

Een thermosfles heeft een dubbele wand. Hierdoor blijft een vloeistof die in een thermosfles wordt bewaard langere tijd warm of juist koud.

De vloeistoftemperatuur $T$ in een volledig gevulde en afgesloten thermosfles kan worden berekend met de formule:

T(t) = A + (T_0 - A) \cdot \text{e}^{-ct}

Hierbij geldt:

$t$ is de tijd in uren nadat de thermosfles werd afgesloten.
$T(t)$ is de vloeistoftemperatuur in °C na $t$ uur.
$T_0$ is de vloeistoftemperatuur in °C bij $t = 0$ .
$A$ is de constante omgevingstemperatuur in °C.
$c$ is een constante die afhangt van de kwaliteit van de thermosfles.

Om 9.00 uur ’s ochtends wordt een volledig met vloeistof gevulde thermosfles afgesloten en in een ruimte geplaatst.

De vloeistoftemperatuur in de fles is op dat moment 87 °C.

De omgevingstemperatuur in de ruimte is constant.

De vloeistoftemperatuur in de fles is om 11.30 uur 67 °C en om 14.00 uur 53 °C.

Met bovenstaande gegevens kan een stelsel vergelijkingen worden opgesteld. Dit stelsel kan vervolgens worden herleid tot een vergelijking met één variabele.

Stel deze vergelijking op en bereken vervolgens met behulp van deze vergelijking de temperatuur in °C van de vloeistof om 15.00 uur. Geef je eindantwoord als geheel getal.

Voor nakijken en persoonlijke tips van de AI-docent: Maak een foto van jouw antwoord of type het in.

Vraag 5

[C] Differentiaal- en integraalrekening [C1] Afgeleide functies[Getal en Ruimte] H9: Exponentiële en logaritmische functies[Moderne Wiskunde] H14: Exponentiële en logaritmische functies

6p

Bij een test worden twee thermosflessen van verschillende merken gevuld met een vloeistof met een temperatuur van 95 °C en in een ruimte geplaatst. Na verloop van tijd is de vloeistof in beide thermosflessen afgekoeld tot de constante omgevingstemperatuur van 20 °C.

De formule voor de vloeistoftemperatuur in de thermosfles van het merk Isomax is:

T_I(t) = 20 + 75 \cdot \text{e}^{-0{,}2t}

De formule voor de vloeistoftemperatuur in de thermosfles van het merk Therm is:

T_{Th}(t) = 20 + 75 \cdot \text{e}^{-0{,}15t}

In de figuur zijn de grafieken van $T_I$ en $T_{Th}$ weergegeven.

De leverancier beweert dat het maximale temperatuurverschil van de vloeistoffen in beide flessen vrijwel niet merkbaar is.

Bereken algebraïsch dit maximale temperatuurverschil in °C. Geef je eindantwoord als geheel getal.

Figuur 1 bij vraag 5 van opgave Thermosflessen (Wiskunde B VWO 2026)

Voor nakijken en persoonlijke tips van de AI-docent: Maak een foto van jouw antwoord of type het in.

Antwoordmodel

Vraag 4

6 punten

maximumscore 6

De gegevens invullen geeft het stelsel $\begin{cases} 67 = A + (87 - A)\text{e}^{-c \cdot 2{,}5} \\ 53 = A + (87 - A)\text{e}^{-c \cdot 5} \end{cases}$ [1]
Hieruit volgt het stelsel $\begin{cases} A - A \cdot \text{e}^{-2{,}5c} = 67 - 87\text{e}^{-2{,}5c} \\ A - A \cdot \text{e}^{-5c} = 53 - 87\text{e}^{-5c} \end{cases}$ [1]
Herleiden tot een vorm zonder $A$ geeft $\dfrac{67 - 87\text{e}^{-2{,}5c}}{1 - \text{e}^{-2{,}5c}} = \dfrac{53 - 87\text{e}^{-5c}}{1 - \text{e}^{-5c}}$ [1]
De oplossing van deze vergelijking is $c = 0{,}14...$ [1]
Dit geeft $A = 20{,}33...$ (°C) [1]
De temperatuur om 15.00 uur is 49 (°C) [1]

of

De gegevens invullen geeft het stelsel $\begin{cases} 67 = A + (87 - A)\text{e}^{-c \cdot 2{,}5} \\ 53 = A + (87 - A)\text{e}^{-c \cdot 5} \end{cases}$ [1]
Hieruit volgt het stelsel $\begin{cases} \dfrac{67 - A}{87 - A} = \text{e}^{-2{,}5c} \\ \dfrac{53 - A}{87 - A} = \text{e}^{-5c} \end{cases}$ [1]
Herleiden tot een vorm zonder $c$ geeft $\left(\dfrac{67 - A}{87 - A}\right)^2 = \dfrac{53 - A}{87 - A}$ [1]
De oplossing van deze vergelijking is $A = 20{,}33...$ (°C) [1]
Oplossen van de vergelijking $\dfrac{53 - 20{,}33...}{87 - 20{,}33...} = \text{e}^{-5c}$ geeft $c = 0{,}14...$ [1]
De temperatuur om 15.00 uur is 49 (°C) [1]

Vraag 5

6 punten

maximumscore 6

Voor het temperatuurverschil $V$ geldt $V(t) = 75\text{e}^{-0{,}15t} - 75\text{e}^{-0{,}2t}$ [1]
$V'(t) = -0{,}15 \cdot 75\text{e}^{-0{,}15t} - {-0{,}2} \cdot 75\text{e}^{-0{,}2t}$ [1]
Uit $V'(t) = 0$ volgt $15\text{e}^{-0{,}2t} = 11{,}25\text{e}^{-0{,}15t}$ [1]
Dit geeft $\text{e}^{-0{,}05t} = \dfrac{11{,}25}{15}$ ( $= 0{,}75$ ) [1]
Hieruit volgt $t = -\dfrac{1}{0{,}05} \cdot \ln(0{,}75)$ ( $= 5{,}7...$ ) [1]
Het maximale temperatuurverschil is 8 (°C) [1]

Volgende opgave: Evenwijdige vectoren en zwaartepunt →