Evenwijdige vectoren en zwaartepunt

Opgave 4 (vraag 6 t/m 7) uit eindexamen Wiskunde B VWO 2026 tijdvak 2

Vraag 6

[B] Functies, grafieken en vergelijkingen [B5] Vergelijkingen en ongelijkheden[Moderne Wiskunde] H8: Vectoren[Getal en Ruimte] H10: Meetkunde met vectoren

5p

Evenwijdige vectoren en zwaartepunt

Gegeven zijn de punten $A(5 - p, 2p)$ , $B(2p, p)$ en $C(5, 5)$ .

In figuur 1 zijn voor drie waarden van $p$ de vectoren $\overrightarrow{CA}$ en $\overrightarrow{CB}$ weergegeven.

Voor positie 2 zijn $\overrightarrow{CA}$ en $\overrightarrow{CB}$ evenwijdig en hebben ze een tegengestelde richting.

Er is een vierde positie, waarvoor de vectoren $\overrightarrow{CA}$ en $\overrightarrow{CB}$ ook evenwijdig zijn. In dat geval hebben de vectoren gelijke richting.

Bereken algebraïsch de waarde van $p$ bij deze vierde positie. Geef je eindantwoord in twee decimalen.

Figuur 1 bij vraag 6 van opgave Evenwijdige vectoren en zwaartepunt (Wiskunde B VWO 2026)

Voor nakijken en persoonlijke tips van de AI-docent: Maak een foto van jouw antwoord of type het in.

Vraag 7

[E] Meetkunde met coördinaten [E3] Vectoren en inproduct[Getal en Ruimte] H14: Meetkunde toepassen[Moderne Wiskunde] H8: Vectoren

4p

Gegeven zijn de punten $A(5 - p, 2p)$ , $B(2p, p)$ en $C(5, 5)$ .

In $A$ en in $B$ bevinden zich puntmassa’s met massa 2 en in $C$ bevindt zich een puntmassa met massa 1.

Bij elke waarde van $p$ hoort een positie van het zwaartepunt $Z$ van de drie puntmassa’s. Deze zwaartepunten liggen op de lijn $l$ .

In figuur 2 zijn voor een zekere waarde van $p$ de posities van de puntmassa’s $A$ , $B$ en $C$ en het bijbehorende zwaartepunt $Z$ weergegeven. Ook zijn voor deze waarde van $p$ de plaatsvectoren $\overrightarrow{OA}$ , $\overrightarrow{OB}$ en $\overrightarrow{OC}$ en de lijn $l$ weergegeven.

Er is een waarde van $p$ waarvoor de $x$ -coördinaat van het zwaartepunt gelijk is aan de $y$ -coördinaat van het zwaartepunt.

Bereken in dat geval exact de coördinaten van het zwaartepunt.

Figuur 1 bij vraag 7 van opgave Evenwijdige vectoren en zwaartepunt (Wiskunde B VWO 2026)

Voor nakijken en persoonlijke tips van de AI-docent: Maak een foto van jouw antwoord of type het in.

maximumscore 4

De wegingsfactoren van de plaatsvectoren $\overrightarrow{OA}$ , $\overrightarrow{OB}$ en $\overrightarrow{OC}$ zijn respectievelijk $\frac{2}{5}$ , $\frac{2}{5}$ en $\frac{1}{5}$ [1]
$\overrightarrow{OZ} = \frac{2}{5} \cdot \begin{pmatrix} 5 - p \\ 2p \end{pmatrix} + \frac{2}{5} \cdot \begin{pmatrix} 2p \\ p \end{pmatrix} + \frac{1}{5} \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 + \frac{2}{5}p \\ 1 + \frac{6}{5}p \end{pmatrix}$ [1]
Uit $3 + \frac{2}{5}p = 1 + \frac{6}{5}p$ volgt $p = 2\frac{1}{2}$ [1]
De coördinaten zijn $(4, 4)$ [1]

of

De wegingsfactoren van de plaatsvectoren $\overrightarrow{OA}$ , $\overrightarrow{OB}$ en $\overrightarrow{OC}$ zijn respectievelijk $\frac{2}{5}$ , $\frac{2}{5}$ en $\frac{1}{5}$ [1]
$\overrightarrow{OZ} = \frac{2}{5} \cdot \begin{pmatrix} 5 - p \\ 2p \end{pmatrix} + \frac{2}{5} \cdot \begin{pmatrix} 2p \\ p \end{pmatrix} + \frac{1}{5} \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 + \frac{2}{5}p \\ 1 + \frac{6}{5}p \end{pmatrix}$ [1]
De lijn $l$ gaat door het punt $(3, 1)$ en heeft richtingscoëfficiënt 3, dus een vergelijking van $l$ is $y = 3x - 8$ [1]
Ook geldt $y = x$ , dus de coördinaten zijn $(4, 4)$ [1]

of

De wegingsfactoren van de puntmassa’s $A$ , $B$ en $C$ zijn respectievelijk $\frac{2}{5}$ , $\frac{2}{5}$ en $\frac{1}{5}$ [1]
Een correcte berekening van de coördinaten van het zwaartepunt voor twee verschillende waarden van $p$ . Bijvoorbeeld: voor $p = 0$ geldt $Z = ((\frac{2}{5} \cdot 5 + \frac{2}{5} \cdot 0 + \frac{1}{5} \cdot 5, \frac{2}{5} \cdot 0 + \frac{2}{5} \cdot 0 + \frac{1}{5} \cdot 5) =) (3, 1)$ en voor $p = 5$ geldt $Z = ((\frac{2}{5} \cdot 0 + \frac{2}{5} \cdot 10 + \frac{1}{5} \cdot 5, \frac{2}{5} \cdot 10 + \frac{2}{5} \cdot 5 + \frac{1}{5} \cdot 5) =) (5, 7)$ [1]
Een vectorvoorstelling van $l$ is $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ [1]
Uit $3 + t = 1 + 3t$ volgt $t = 1$ , dus de coördinaten zijn $(4, 4)$ [1]

Antwoordmodel

Vraag 6

5 punten

maximumscore 5

$\overrightarrow{CA} = \begin{pmatrix} -p \\ 2p - 5 \end{pmatrix}$ en $\overrightarrow{CB} = \begin{pmatrix} 2p - 5 \\ p - 5 \end{pmatrix}$ [1]
De vectoren zijn evenwijdig als $\dfrac{2p - 5}{-p} = \dfrac{p - 5}{2p - 5}$ [1]
Dit herleiden tot een kwadratische vergelijking zoals $5p^2 - 25p + 25 = 0$ [1]
Dit geeft $p = \dfrac{5 - \sqrt{5}}{2}$ (of $p = 1{,}381...$ ) en $p = \dfrac{5 + \sqrt{5}}{2}$ (of $p = 3{,}618...$ ) [1]
Een toelichting waaruit volgt dat voor $p = 1{,}38$ de vectoren gelijke richting hebben [1]

Vraag 7

4 punten

maximumscore 4

De wegingsfactoren van de plaatsvectoren $\overrightarrow{OA}$ , $\overrightarrow{OB}$ en $\overrightarrow{OC}$ zijn respectievelijk $\frac{2}{5}$ , $\frac{2}{5}$ en $\frac{1}{5}$ [1]
$\overrightarrow{OZ} = \frac{2}{5} \cdot \begin{pmatrix} 5 - p \\ 2p \end{pmatrix} + \frac{2}{5} \cdot \begin{pmatrix} 2p \\ p \end{pmatrix} + \frac{1}{5} \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 + \frac{2}{5}p \\ 1 + \frac{6}{5}p \end{pmatrix}$ [1]
Uit $3 + \frac{2}{5}p = 1 + \frac{6}{5}p$ volgt $p = 2\frac{1}{2}$ [1]
De coördinaten zijn $(4, 4)$ [1]

of

De wegingsfactoren van de plaatsvectoren $\overrightarrow{OA}$ , $\overrightarrow{OB}$ en $\overrightarrow{OC}$ zijn respectievelijk $\frac{2}{5}$ , $\frac{2}{5}$ en $\frac{1}{5}$ [1]
$\overrightarrow{OZ} = \frac{2}{5} \cdot \begin{pmatrix} 5 - p \\ 2p \end{pmatrix} + \frac{2}{5} \cdot \begin{pmatrix} 2p \\ p \end{pmatrix} + \frac{1}{5} \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 + \frac{2}{5}p \\ 1 + \frac{6}{5}p \end{pmatrix}$ [1]
De lijn $l$ gaat door het punt $(3, 1)$ en heeft richtingscoëfficiënt 3, dus een vergelijking van $l$ is $y = 3x - 8$ [1]
Ook geldt $y = x$ , dus de coördinaten zijn $(4, 4)$ [1]

of

De wegingsfactoren van de puntmassa’s $A$ , $B$ en $C$ zijn respectievelijk $\frac{2}{5}$ , $\frac{2}{5}$ en $\frac{1}{5}$ [1]
Een correcte berekening van de coördinaten van het zwaartepunt voor twee verschillende waarden van $p$ . Bijvoorbeeld: voor $p = 0$ geldt $Z = ((\frac{2}{5} \cdot 5 + \frac{2}{5} \cdot 0 + \frac{1}{5} \cdot 5, \frac{2}{5} \cdot 0 + \frac{2}{5} \cdot 0 + \frac{1}{5} \cdot 5) =) (3, 1)$ en voor $p = 5$ geldt $Z = ((\frac{2}{5} \cdot 0 + \frac{2}{5} \cdot 10 + \frac{1}{5} \cdot 5, \frac{2}{5} \cdot 10 + \frac{2}{5} \cdot 5 + \frac{1}{5} \cdot 5) =) (5, 7)$ [1]
Een vectorvoorstelling van $l$ is $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ [1]
Uit $3 + t = 1 + 3t$ volgt $t = 1$ , dus de coördinaten zijn $(4, 4)$ [1]

Volgende opgave: Draaierig →