Stuiterbal

Opgave 4 (vraag 8 t/m 9) uit eindexamen Wiskunde B VWO 2026 tijdvak 1

Vraag 8

[C] Differentiaal- en integraalrekening [C1] Afgeleide functies[Moderne Wiskunde] H5: Afgeleide functies[Getal en Ruimte] H2: De afgeleide functie

2p

Stuiterbal

In deze opgave bekijken we een vereenvoudigd model van de situatie waarin iemand een stuiterbal recht omlaag laat vallen.

Deze bal zal dan een aantal keer stuiteren. Het moment waarop de bal de grond raakt noemen we stuit. Na elke stuit komt de stuiterbal minder hoog dan na de voorgaande stuit.

De hoogte van de stuiterbal tussen twee opeenvolgende keren stuiten wordt steeds beschreven door een kwadratische functie van de tijd $t$ . Vanaf het loslaten tot aan de eerste stuit heet de functie $h_0$ , tussen de eerste en de tweede stuit heet de functie $h_1$ , vervolgens $h_2$ enzovoorts.

De grafieken van deze functies zijn delen van parabolen.

In deze opgave bekijken we een stuiterbal die wordt losgelaten vanaf een hoogte van 1 meter op tijdstip $t = 0$ . De eerste stuit is na 0,45 seconden. Zie figuur 1.

Er geldt (bij benadering) $h_0(t) = -4{,}9t^2 + 1$ , met $t$ in seconden en $h_0$ de hoogte in meters.

Bereken algebraïsch de snelheid in m/s waarmee de stuiterbal voor het eerst de grond raakt. Geef je eindantwoord in één decimaal.

Figuur 1 bij vraag 8 van opgave Stuiterbal (Wiskunde B VWO 2026)

Voor nakijken en persoonlijke tips van de AI-docent: Maak een foto van jouw antwoord of type het in.

Vraag 9

[A] Vaardigheden[A3] Wiskundige vaardigheden[Getal en Ruimte] H1: Functies en grafieken[Moderne Wiskunde] H1: Vergelijkingen

7p

De stuiterbal wordt losgelaten vanaf een hoogte van 1 meter op tijdstip $t = 0$ . De eerste stuit is na 0,45 seconden. De hoogte van de stuiterbal tussen twee opeenvolgende keren stuiten wordt steeds beschreven door een kwadratische functie van de tijd $t$ . Vanaf het loslaten tot aan de eerste stuit heet de functie $h_0$ , tussen de eerste en de tweede stuit heet de functie $h_1$ , vervolgens $h_2$ enzovoorts.

Tussen twee opeenvolgende stuiten bereikt de stuiterbal een hoogste punt. Iedere keer is de hoogte van dat hoogste punt 64% van de hoogte van het voorgaande hoogste punt.

In de figuur hierboven is te zien dat de tijdsduur tussen twee opeenvolgende stuiten steeds korter wordt. Deze tijdsduur $T_n$ is in seconden. We geven deze tijdsduur in seconden aan met $T_n$ . Zo is $T_1 = 0{,}72$ de tijdsduur tussen de eerste en de tweede stuit, $T_2$ de tijdsduur tussen de tweede en derde stuit enzovoorts. $T_3$ loopt van tijdstip $K$ tot tijdstip $L$ .

Een formule voor $T_n$ is:

T_n = 0{,}9 \cdot 0{,}8^n

met $n \ge 1$ .

Stel met bovenstaande gegevens een functievoorschrift op van $h_3$ . Geef de getallen in je eindantwoord in twee decimalen.

Figuur 1 bij vraag 9 van opgave Stuiterbal (Wiskunde B VWO 2026)

Voor nakijken en persoonlijke tips van de AI-docent: Maak een foto van jouw antwoord of type het in.

maximumscore 7

Invullen van $n = 2$ geeft $T_2 = 0{,}576$ [1]
$t_K = 0{,}45 + 0{,}72 + T_2 = 1{,}746$ [1]
$t_L = \left(0{,}45 + 0{,}72 + T_2 + 0{,}9 \cdot 0{,}8^3 =\right) 2{,}2068$ [1]
$h_3$ heeft een functievoorschrift van de vorm $h_3(t) = p(t - 1{,}746)(t - 2{,}2068)$ [1]
Voor het hoogste punt na stuit 3 geldt: $t = \frac{1}{2}(1{,}746 + 2{,}2068) = 1{,}9764$ [1]
Er moet gelden $h_3(1{,}9764) = 0{,}64^3$ ( $= 0{,}262144$ ) [1]
Hieruit volgt $p = -4{,}938...$ , dus $h_3(t) = -4{,}94(t - 1{,}75)(t - 2{,}21)$ (voor $1{,}75 \le t \le 2{,}21$ ) [1]

of

Invullen van $n = 2$ geeft $T_2 = 0{,}576$ [1]
Voor het hoogste punt na stuit 3 geldt: $t = 0{,}45 + 0{,}72 + T_2 + \frac{1}{2} \cdot T_3$ [1]
Dus $t = \left(0{,}45 + 0{,}72 + T_2 + \frac{1}{2} \cdot 0{,}9 \cdot 0{,}8^3 =\right) 1{,}9764$ [1]
Er moet gelden $h_3(1{,}9764) = 0{,}64^3$ ( $= 0{,}262144$ ) (dus de coördinaten van de top zijn $(1{,}9764;\ 0{,}262144)$ ) [1]
$h_3$ heeft dus een functievoorschrift van de vorm $h_3(t) = p(t - 1{,}9764)^2 + 0{,}262144$ [1]
$t_K = 0{,}45 + 0{,}72 + T_2 = 1{,}746$ , dus er moet gelden $h_3(1{,}746) = 0$ [1]
Hieruit volgt $p = -4{,}938...$ , dus $h_3(t) = -4{,}94(t - 1{,}98)^2 + 0{,}26$ (voor $1{,}75 \le t \le 2{,}21$ ) [1]

Opmerkingen

Als voor $p$ de waarde $-4{,}9$ (uit de vorige vraag) wordt gebruikt, voor deze vraag maximaal 5 scorepunten toekennen.
Als een leerling het functievoorschrift in de volgende vorm heeft weergegeven: $h_3(t) = -4{,}94t^2 + 19{,}52t - 19{,}03$ , mogen alle scorepunten worden toegekend.

Antwoordmodel

Vraag 8

2 punten

maximumscore 2

$h_0'(t) = -9{,}8 \cdot t$ [1]
0,45 invullen geeft de gevraagde snelheid is $(-)4{,}4$ (m/s) [1]

Vraag 9

7 punten

maximumscore 7

Invullen van $n = 2$ geeft $T_2 = 0{,}576$ [1]
$t_K = 0{,}45 + 0{,}72 + T_2 = 1{,}746$ [1]
$t_L = \left(0{,}45 + 0{,}72 + T_2 + 0{,}9 \cdot 0{,}8^3 =\right) 2{,}2068$ [1]
$h_3$ heeft een functievoorschrift van de vorm $h_3(t) = p(t - 1{,}746)(t - 2{,}2068)$ [1]
Voor het hoogste punt na stuit 3 geldt: $t = \frac{1}{2}(1{,}746 + 2{,}2068) = 1{,}9764$ [1]
Er moet gelden $h_3(1{,}9764) = 0{,}64^3$ ( $= 0{,}262144$ ) [1]
Hieruit volgt $p = -4{,}938...$ , dus $h_3(t) = -4{,}94(t - 1{,}75)(t - 2{,}21)$ (voor $1{,}75 \le t \le 2{,}21$ ) [1]

of

Invullen van $n = 2$ geeft $T_2 = 0{,}576$ [1]
Voor het hoogste punt na stuit 3 geldt: $t = 0{,}45 + 0{,}72 + T_2 + \frac{1}{2} \cdot T_3$ [1]
Dus $t = \left(0{,}45 + 0{,}72 + T_2 + \frac{1}{2} \cdot 0{,}9 \cdot 0{,}8^3 =\right) 1{,}9764$ [1]
Er moet gelden $h_3(1{,}9764) = 0{,}64^3$ ( $= 0{,}262144$ ) (dus de coördinaten van de top zijn $(1{,}9764;\ 0{,}262144)$ ) [1]
$h_3$ heeft dus een functievoorschrift van de vorm $h_3(t) = p(t - 1{,}9764)^2 + 0{,}262144$ [1]
$t_K = 0{,}45 + 0{,}72 + T_2 = 1{,}746$ , dus er moet gelden $h_3(1{,}746) = 0$ [1]
Hieruit volgt $p = -4{,}938...$ , dus $h_3(t) = -4{,}94(t - 1{,}98)^2 + 0{,}26$ (voor $1{,}75 \le t \le 2{,}21$ ) [1]

Opmerkingen

Als voor $p$ de waarde $-4{,}9$ (uit de vorige vraag) wordt gebruikt, voor deze vraag maximaal 5 scorepunten toekennen.
Als een leerling het functievoorschrift in de volgende vorm heeft weergegeven: $h_3(t) = -4{,}94t^2 + 19{,}52t - 19{,}03$ , mogen alle scorepunten worden toegekend.

Volgende opgave: Lus →