Lus

Opgave 5 (vraag 10 t/m 12) uit eindexamen Wiskunde B VWO 2026 tijdvak 1

Vraag 10

[E] Meetkunde met coördinaten [E3] Vectoren en inproduct[Moderne Wiskunde] H19: Bewegingsvergelijkingen[Getal en Ruimte] H10: Meetkunde met vectoren

3p

Lus

Het punt $P$ beweegt volgens de bewegingsvergelijkingen

\begin{cases} x(t) = t^2(2 - t) \\ y(t) = 2t(2 - t) \end{cases}

met $0 \le t \le 2$ en $t$ in seconden.

De snelheidsvector op tijdstip $t$ is $\vec{v} = \begin{pmatrix} 4t - 3t^2 \\ 4 - 4t \end{pmatrix}$ .

De baansnelheid van $P$ is op één tijdstip $t$ minimaal.

Bereken deze waarde van $t$ . Geef je eindantwoord in twee decimalen.

Voor nakijken en persoonlijke tips van de AI-docent: Maak een foto van jouw antwoord of type het in.

Vraag 12

[C] Differentiaal- en integraalrekening [C1] Afgeleide functies [Getal en Ruimte] H14: Meetkunde toepassen[Moderne Wiskunde] H19: Bewegingsvergelijkingen

6p

De bewegingsvergelijkingen van een ander punt zijn gegeven door:

\begin{cases} x(t) = t^2(2 - t) \\ y(t) = at(2 - t) \end{cases}

Hierin is $a$ een constante, waarbij $a \neq 0$ .

Punt $A$ is het punt van de baan waarbij de $x$ -coördinaat maximaal is; punt $B$ is het punt van de baan waarbij de $y$ -coördinaat maximaal is.

Er is een waarde van $a$ waarvoor de richtingscoëfficiënt van de lijn door $A$ en $B$ gelijk is aan $-1$ . In figuur 2 is deze situatie weergegeven.

Bereken exact deze waarde van $a$ .

Figuur 1 bij vraag 12 van opgave Lus (Wiskunde B VWO 2026)

Voor nakijken en persoonlijke tips van de AI-docent: Maak een foto van jouw antwoord of type het in.

maximumscore 6

$x'(t) = 0$ geeft $t = \frac{4}{3}$ ( $t = 0$ voldoet niet) [1]
De coördinaten van $A$ zijn $\left(\frac{32}{27}, \frac{8}{9}a\right)$ [1]
$y'(t) = 2a - 2at$ [1]
$y'(t) = 0$ geeft $t = 1$ ; hieruit volgt dat $(1, a)$ de coördinaten van $B$ zijn [1]
De richtingscoëfficiënt van $AB$ is $\dfrac{\frac{8}{9}a - a}{\frac{32}{27} - 1}$ $\left(= -\frac{3}{5}a\right)$ [1]
$-\frac{3}{5}a = -1$ geeft $a = \frac{5}{3}$ [1]

of

$x'(t) = 0$ geeft $t = \frac{4}{3}$ ( $t = 0$ voldoet niet) [1]
De coördinaten van $A$ zijn $\left(\frac{32}{27}, \frac{8}{9}a\right)$ [1]
$y'(t) = 2a - 2at$ [1]
$y'(t) = 0$ geeft $t = 1$ ; hieruit volgt dat $(1, a)$ de coördinaten van $B$ zijn [1]
De driehoek $ASB$ (met $S$ het snijpunt van de verticale lijn door $A$ en de horizontale lijn door $B$ ) moet gelijkbenig zijn, dus $\frac{1}{9}a = \frac{5}{27}$ [1]
$\frac{1}{9}a = \frac{5}{27}$ geeft $a = \frac{5}{3}$ [1]

of

De baan van deze vraag ontstaat uit de baan van de vorige vraag door een vermenigvuldiging ten opzichte van de $x$ -as met factor $\frac{1}{2}a$ [1]
$x'(t) = 0$ geeft $t = \frac{4}{3}$ ( $t = 0$ voldoet niet) [1]
Voor $a = 2$ zijn de coördinaten van $A$ $\left(\frac{32}{27}, \frac{16}{9}\right)$ [1]
$y'(t) = 0$ geeft $t = 1$ ; hieruit volgt (voor $a = 2$ ) dat $(1, 2)$ de coördinaten van $B$ zijn [1]
Dus (voor $a = 2$ ) is de richtingscoëfficiënt van $AB$ gelijk aan $\dfrac{2 - \frac{16}{9}}{1 - \frac{32}{27}}$ $\left(= -\frac{6}{5}\right)$ [1]
(Dus voor de vermenigvuldigingsfactor $\frac{1}{2}a$ geldt) $\frac{1}{2}a \cdot -\frac{6}{5} = -1$ en hieruit volgt $a = \frac{5}{3}$ [1]

Antwoordmodel

Vraag 10

3 punten

maximumscore 3

De baansnelheid wordt gegeven door $v(t) = \sqrt{\left(4t - 3t^2\right)^2 + \left(4 - 4t\right)^2}$ [1]
Beschrijven hoe het minimum kan worden berekend [1]
De gevraagde waarde van $t$ is $1{,}12$ [1]

Vraag 11

4 punten

maximumscore 4

$P$ en $Q$ liggen op gelijke hoogte als geldt: $2t(2 - t) = 2(t - 1)(2 - (t - 1))$ [1]
Dit geeft $4t - 2t^2 = -2t^2 + 8t - 6$ [1]
$4t = 8t - 6$ geeft $t = 1\frac{1}{2}$ [1]
De lengte van lijnstuk $PQ$ is $\left(x\left(1\frac{1}{2}\right) - x\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{9}{8} - \frac{3}{8} =\right) \frac{3}{4}$ [1]

Vraag 12

6 punten

maximumscore 6

$x'(t) = 0$ geeft $t = \frac{4}{3}$ ( $t = 0$ voldoet niet) [1]
De coördinaten van $A$ zijn $\left(\frac{32}{27}, \frac{8}{9}a\right)$ [1]
$y'(t) = 2a - 2at$ [1]
$y'(t) = 0$ geeft $t = 1$ ; hieruit volgt dat $(1, a)$ de coördinaten van $B$ zijn [1]
De richtingscoëfficiënt van $AB$ is $\dfrac{\frac{8}{9}a - a}{\frac{32}{27} - 1}$ $\left(= -\frac{3}{5}a\right)$ [1]
$-\frac{3}{5}a = -1$ geeft $a = \frac{5}{3}$ [1]

of

$x'(t) = 0$ geeft $t = \frac{4}{3}$ ( $t = 0$ voldoet niet) [1]
De coördinaten van $A$ zijn $\left(\frac{32}{27}, \frac{8}{9}a\right)$ [1]
$y'(t) = 2a - 2at$ [1]
$y'(t) = 0$ geeft $t = 1$ ; hieruit volgt dat $(1, a)$ de coördinaten van $B$ zijn [1]
De driehoek $ASB$ (met $S$ het snijpunt van de verticale lijn door $A$ en de horizontale lijn door $B$ ) moet gelijkbenig zijn, dus $\frac{1}{9}a = \frac{5}{27}$ [1]
$\frac{1}{9}a = \frac{5}{27}$ geeft $a = \frac{5}{3}$ [1]

of

De baan van deze vraag ontstaat uit de baan van de vorige vraag door een vermenigvuldiging ten opzichte van de $x$ -as met factor $\frac{1}{2}a$ [1]
$x'(t) = 0$ geeft $t = \frac{4}{3}$ ( $t = 0$ voldoet niet) [1]
Voor $a = 2$ zijn de coördinaten van $A$ $\left(\frac{32}{27}, \frac{16}{9}\right)$ [1]
$y'(t) = 0$ geeft $t = 1$ ; hieruit volgt (voor $a = 2$ ) dat $(1, 2)$ de coördinaten van $B$ zijn [1]
Dus (voor $a = 2$ ) is de richtingscoëfficiënt van $AB$ gelijk aan $\dfrac{2 - \frac{16}{9}}{1 - \frac{32}{27}}$ $\left(= -\frac{6}{5}\right)$ [1]
(Dus voor de vermenigvuldigingsfactor $\frac{1}{2}a$ geldt) $\frac{1}{2}a \cdot -\frac{6}{5} = -1$ en hieruit volgt $a = \frac{5}{3}$ [1]

Volgende opgave: Gebroken gonio →