Gebroken gonio

Opgave 6 (vraag 13 t/m 15) uit eindexamen Wiskunde B VWO 2026 tijdvak 1

Vraag 13

[D] Goniometrische functies[Moderne Wiskunde] H17: Goniometrische functies[Getal en Ruimte] H8: Goniometrische functies

3p

Gebroken gonio

De functie $f$ wordt gegeven door:

f(x) = \frac{1 + 2\sin(x)}{1 + \cos(x)}

voor $0 \le x < \pi$ en $\pi < x < 3\pi$ .

De lijn met vergelijking $y = 1$ snijdt de grafiek van $f$ in de punten $A$ , $B$ en $C$ , met $x_A < x_B < x_C$ . Zie de figuur. Hierin zijn de twee verticale asymptoten gestippeld weergegeven.

Toon op algebraïsche wijze aan dat $AB = BC$ .

Figuur 1 bij vraag 13 van opgave Gebroken gonio (Wiskunde B VWO 2026)

Voor nakijken en persoonlijke tips van de AI-docent: Maak een foto van jouw antwoord of type het in.

Antwoordmodel

Vraag 13

3 punten

maximumscore 3

$f(x) = 1$ geeft $2\sin(x) = \cos(x)$ [1]
Dus $\tan(x) = \frac{1}{2}$ [1]
De oplossingen zijn periodiek met periode $\pi$ (of: het oplossen van de vergelijking geeft $x = 0{,}46... + k \cdot \pi$ ) dus $AB = BC = \pi$ [1]

Vraag 14

6 punten

maximumscore 6

$\dfrac{\text{d}(1 + 2\sin(x))}{\text{d}x} = 2\cos(x)$ en $\dfrac{\text{d}(1 + \cos(x))}{\text{d}x} = -\sin(x)$ [1]
$f'(x) = \dfrac{(1 + \cos(x)) \cdot 2\cos(x) - (1 + 2\sin(x)) \cdot -\sin(x)}{(1 + \cos(x))^2}$ [1]
$f'(x) = 0$ als $2\cos(x) + 2\cos^2(x) + \sin(x) + 2\sin^2(x) = 0$ [1]
( $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ dus) $2\cos(x) + 2 + \sin(x) = 0$ [1]
$2\cos(x) + 2 = -\sin(x)$ kwadrateren geeft $4\cos^2(x) + 8\cos(x) + 4 = \sin^2(x)$ [1]
Gebruikmaken van $\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)$ geeft $5\cos^2(x) + 8\cos(x) + 3 = 0$ [1]

Vraag 15

5 punten

maximumscore 5

Substitutie van $p = \cos(x)$ in $5\cos^2(x) + 8\cos(x) + 3 = 0$ geeft $5p^2 + 8p + 3 = 0$ [1]
Een algebraïsche berekening waaruit volgt $p = -0{,}6$ of $p = -1$ [1]
$\cos(x) = -0{,}6$ ( $\cos(x) = -1$ voldoet niet) [1]
$\cos(x) = -0{,}6$ geeft $\sin(x) = -0{,}8$ of $\sin(x) = 0{,}8$ [1]
De $y$ -coördinaat van $T$ is dus $-1{,}5$ ( $6{,}5$ voldoet niet) [1]

Volgende opgave: Begrensde inhoud →