Lycopeen

maximumscore 5

uitkomst: $1,24 \cdot 10^{3}\ \text{nm}$

voorbeeld van een antwoord: Voor de lengte $L$ geldt:

$$L = 21 \cdot 1,4 \cdot 10^{-10}\ \text{m} = 2,94 \cdot 10^{-9}\ \text{m}.$$

Er zijn in totaal $22$ vrije elektronen. Dat betekent dat in de grondtoestand de eerste elf niveaus bezet zijn. Voor de energie van het foton met de maximale golflengte geldt dan:

$$E_{\text{f}} = \Delta E_{n} = E_{12} - E_{11} = 12^{2}\frac{h^{2}}{8mL^{2}} - 11^{2}\frac{h^{2}}{8mL^{2}} = 23\frac{h^{2}}{8mL^{2}}.$$

Invullen geeft:

$$E_{\text{f}} = 23 \cdot \frac{\left(6,626 \cdot 10^{-34}\right)^{2}}{8 \cdot 9,11 \cdot 10^{-31} \cdot \left(2,94 \cdot 10^{-9}\right)^{2}} \approx 1,603 \cdot 10^{-19}\ \text{J}.$$

Voor de fotonenergie geldt:

$$E_{\text{f}} = \frac{hc}{\lambda}.$$

Invullen en uitwerken levert dan:

$$\lambda = \frac{hc}{E_{\text{f}}} = \frac{6,626 \cdot 10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s} \cdot 3,00 \cdot 10^{8}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}}{1,603 \cdot 10^{-19}\ \text{J}} \approx 1,24 \cdot 10^{-6}\ \text{m} = 1,24 \cdot 10^{3}\ \text{nm}.$$

De horizontale as van figuur $2$ loopt tot $560\ \text{nm}$. (De berekende golflengte is groter dan dit maximum, dus de maximale golflengte is groter dan de waarde die volgt uit figuur $2$.)

• inzicht dat in de grondtoestand de energieniveaus $1\ \text{t/m}\ 11$ bezet zijn [1]
• gebruik van $E_{\text{f}} = \left|E_{\text{m}} - E_{\text{n}}\right|$ [1]
• gebruik van $E_{\text{n}} = n^{2}\frac{h^{2}}{8mL^{2}}$ [1]
• gebruik van $E_{\text{f}} = \frac{hc}{\lambda}$ [1]
• completeren van de berekening en vergelijken met figuur $2$ [1]

Opmerking Als de kandidaat de berekende golflengte vergelijkt met de golflengte die hoort bij de absorptiepiek bij $505\ \text{nm}$, dit niet aanrekenen.

maximumscore 2

voorbeeld van een antwoord: De gemeten golflengte is kleiner dan de berekende ($\lambda_{\text{gem}} < \lambda_{\text{ber}}$). De energie van het foton ($E_{\text{f}} = \frac{hc}{\lambda}$) is dan dus groter. De lengte van de energieput moet dan kleiner zijn. (En dus is de effectieve putlengte $L_{\text{eff}}$ kleiner dan de afstand $L$)

• inzicht dat de energie van het foton groter moet zijn / inzicht dat de energieovergang in de energieput groter moet zijn [1]
• consequente conclusie over de effectieve putlengte [1]

maximumscore 5

uitkomst: $1,24 \cdot 10^{3}\ \text{nm}$

voorbeeld van een antwoord: Voor de lengte $L$ geldt:

$$L = 21 \cdot 1,4 \cdot 10^{-10}\ \text{m} = 2,94 \cdot 10^{-9}\ \text{m}.$$

Er zijn in totaal $22$ vrije elektronen. Dat betekent dat in de grondtoestand de eerste elf niveaus bezet zijn. Voor de energie van het foton met de maximale golflengte geldt dan:

$$E_{\text{f}} = \Delta E_{n} = E_{12} - E_{11} = 12^{2}\frac{h^{2}}{8mL^{2}} - 11^{2}\frac{h^{2}}{8mL^{2}} = 23\frac{h^{2}}{8mL^{2}}.$$

Invullen geeft:

$$E_{\text{f}} = 23 \cdot \frac{\left(6,626 \cdot 10^{-34}\right)^{2}}{8 \cdot 9,11 \cdot 10^{-31} \cdot \left(2,94 \cdot 10^{-9}\right)^{2}} \approx 1,603 \cdot 10^{-19}\ \text{J}.$$

Voor de fotonenergie geldt:

$$E_{\text{f}} = \frac{hc}{\lambda}.$$

Invullen en uitwerken levert dan:

$$\lambda = \frac{hc}{E_{\text{f}}} = \frac{6,626 \cdot 10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s} \cdot 3,00 \cdot 10^{8}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}}{1,603 \cdot 10^{-19}\ \text{J}} \approx 1,24 \cdot 10^{-6}\ \text{m} = 1,24 \cdot 10^{3}\ \text{nm}.$$

De horizontale as van figuur $2$ loopt tot $560\ \text{nm}$. (De berekende golflengte is groter dan dit maximum, dus de maximale golflengte is groter dan de waarde die volgt uit figuur $2$.)

• inzicht dat in de grondtoestand de energieniveaus $1\ \text{t/m}\ 11$ bezet zijn [1]
• gebruik van $E_{\text{f}} = \left|E_{\text{m}} - E_{\text{n}}\right|$ [1]
• gebruik van $E_{\text{n}} = n^{2}\frac{h^{2}}{8mL^{2}}$ [1]
• gebruik van $E_{\text{f}} = \frac{hc}{\lambda}$ [1]
• completeren van de berekening en vergelijken met figuur $2$ [1]

Opmerking Als de kandidaat de berekende golflengte vergelijkt met de golflengte die hoort bij de absorptiepiek bij $505\ \text{nm}$, dit niet aanrekenen.

maximumscore 2

voorbeeld van een antwoord: De gemeten golflengte is kleiner dan de berekende ($\lambda_{\text{gem}} < \lambda_{\text{ber}}$). De energie van het foton ($E_{\text{f}} = \frac{hc}{\lambda}$) is dan dus groter. De lengte van de energieput moet dan kleiner zijn. (En dus is de effectieve putlengte $L_{\text{eff}}$ kleiner dan de afstand $L$)

• inzicht dat de energie van het foton groter moet zijn / inzicht dat de energieovergang in de energieput groter moet zijn [1]
• consequente conclusie over de effectieve putlengte [1]