Wiskunde B VWO2026 — Tijdvak 2

Rondom een top

Voor $x \ge 0$ wordt de functie $f$ gegeven door $f(x) = -x^3 + 1\frac{1}{2}x$.

Het punt $A(\frac{1}{2}\sqrt{2}, \frac{1}{2}\sqrt{2})$ is de top van de grafiek van $f$.

De lijn $k$ met vergelijking $y = x$ snijdt de grafiek van $f$ in de oorsprong $O$ en in $A$.

De lijn $l$ is de verticale lijn door $A$.

Het gebied $V$ is de driehoek die wordt ingesloten door $k$, $l$ en de positieve $x$-as.

Het gebied $W$ ligt rechts van $l$ en wordt ingesloten door $l$, de grafiek van $f$ en de positieve $x$-as.

In figuur 1 zijn beide gebieden grijs weergegeven.

Onderzoek op exacte wijze of $V$ en $W$ gelijke oppervlakte hebben.

Voor $p > 0$ wordt de functie $g_p$ gegeven door $g_p(x) = x + |px - 1|$.

De grafiek van $g_p$ heeft een knik. Voor één waarde van $p$ bevindt deze knik zich in punt $A$. Zie figuur 2.

Er geldt: in dit geval is de hoek die de knik maakt $90^{\circ}$.

Bewijs dit.