Wortel en sinus

Opgave 5 (vraag 13 t/m 13) uit eindexamen Wiskunde B VWO 2025 tijdvak 2

Vraag 13

[C] Differentiaal- en integraalrekening [C2] Technieken voor differentiëren[Moderne Wiskunde] H17: Goniometrische functies[Getal en Ruimte] H8: Goniometrische functies

7p

Wortel en sinus

De functies $f$ en $g$ worden gegeven door $f(x) = \sqrt{x}$ en $g(x) = \sqrt{x + \sin(x)}$ . In figuur 1 zijn de grafieken van $f$ en $g$ weergegeven.

De oorsprong $O$ is een gemeenschappelijk punt van de twee grafieken. Verder snijden de grafieken elkaar achtereenvolgens in de punten $S_1, S_2, S_3, \ldots$ .

In figuur 2 is een deel van figuur 1 rondom snijpunt $S_2$ vergroot weergegeven. In deze figuur zijn de raaklijnen in $S_2$ aan de grafiek van $f$ en de grafiek van $g$ gestippeld weergegeven.

De helling van de grafiek van $f$ in $S_2$ is gelijk aan $\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}$ . De helling van de grafiek van $g$ in $S_2$ is $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ , dus twee keer zo groot.

Als $n$ een even getal is, geldt: In de snijpunten $S_n$ is de helling van de grafiek van $g$ twee keer zo groot als de helling van de grafiek van $f$ .

Bewijs deze eigenschap.

Figuur 1 bij vraag 13 van opgave Wortel en sinus (Wiskunde B VWO 2025)

Figuur 2 bij vraag 13 van opgave Wortel en sinus (Wiskunde B VWO 2025)

Voor nakijken en persoonlijke tips van de AI-docent: Maak een foto van jouw antwoord of type het in.

maximumscore 7

Voor de $x$ -coördinaten van de gemeenschappelijke punten geldt ( $\sqrt{x} = \sqrt{x + \sin(x)}$ , dus) $\sin(x) = 0$ [1]
Voor de $x$ -coördinaten van de gemeenschappelijke punten geldt $x = k \cdot \pi$ (met $k \ge 0$ , $k$ geheel) [1]
$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ [1]
$\frac{\text{d}(x + \sin(x))}{\text{d}x} = 1 + \cos(x)$ [1]
$g'(x) = \frac{1 + \cos(x)}{2\sqrt{x + \sin(x)}}$ [1]
Voor $k = 2, 4, 6, \ldots$ geldt $g'(k \cdot \pi) = \frac{1 + 1}{2\sqrt{k \cdot \pi + 0}} = \frac{1}{\sqrt{k \cdot \pi}}$ [1]
$f'(k \cdot \pi) = \frac{1}{2\sqrt{k \cdot \pi}}$ , dus voor $k = 2, 4, 6, \ldots$ geldt $g'(k \cdot \pi) = 2 \cdot f'(k \cdot \pi)$ (dus dan is de helling van de grafiek van $g$ twee keer zo groot als de helling van de grafiek van $f$ ) [1]

of

Voor de $x$ -coördinaten van de gemeenschappelijke punten geldt ( $\sqrt{x} = \sqrt{x + \sin(x)}$ , dus) $\sin(x) = 0$ [1]
Voor de $x$ -coördinaten van $S_2$ , $S_4$ , $S_6$ , $\ldots$ geldt $x = k \cdot 2\pi$ (met $k \ge 1$ , $k$ geheel) [1]
$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ [1]
$\frac{\text{d}(x + \sin(x))}{\text{d}x} = 1 + \cos(x)$ [1]
$g'(x) = \frac{1 + \cos(x)}{2\sqrt{x + \sin(x)}}$ [1]
Voor $x = k \cdot 2\pi$ geldt $g'(x) = \frac{1 + 1}{2\sqrt{x + 0}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$ [1]
Dus voor $x = k \cdot 2\pi$ geldt $g'(x) = 2 \cdot f'(x)$ (dus dan is de helling van de grafiek van $g$ twee keer zo groot als de helling van de grafiek van $f$ ) [1]

Antwoordmodel

Vraag 13

7 punten

maximumscore 7

Voor de $x$ -coördinaten van de gemeenschappelijke punten geldt ( $\sqrt{x} = \sqrt{x + \sin(x)}$ , dus) $\sin(x) = 0$ [1]
Voor de $x$ -coördinaten van de gemeenschappelijke punten geldt $x = k \cdot \pi$ (met $k \ge 0$ , $k$ geheel) [1]
$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ [1]
$\frac{\text{d}(x + \sin(x))}{\text{d}x} = 1 + \cos(x)$ [1]
$g'(x) = \frac{1 + \cos(x)}{2\sqrt{x + \sin(x)}}$ [1]
Voor $k = 2, 4, 6, \ldots$ geldt $g'(k \cdot \pi) = \frac{1 + 1}{2\sqrt{k \cdot \pi + 0}} = \frac{1}{\sqrt{k \cdot \pi}}$ [1]
$f'(k \cdot \pi) = \frac{1}{2\sqrt{k \cdot \pi}}$ , dus voor $k = 2, 4, 6, \ldots$ geldt $g'(k \cdot \pi) = 2 \cdot f'(k \cdot \pi)$ (dus dan is de helling van de grafiek van $g$ twee keer zo groot als de helling van de grafiek van $f$ ) [1]

of

Voor de $x$ -coördinaten van de gemeenschappelijke punten geldt ( $\sqrt{x} = \sqrt{x + \sin(x)}$ , dus) $\sin(x) = 0$ [1]
Voor de $x$ -coördinaten van $S_2$ , $S_4$ , $S_6$ , $\ldots$ geldt $x = k \cdot 2\pi$ (met $k \ge 1$ , $k$ geheel) [1]
$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ [1]
$\frac{\text{d}(x + \sin(x))}{\text{d}x} = 1 + \cos(x)$ [1]
$g'(x) = \frac{1 + \cos(x)}{2\sqrt{x + \sin(x)}}$ [1]
Voor $x = k \cdot 2\pi$ geldt $g'(x) = \frac{1 + 1}{2\sqrt{x + 0}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$ [1]
Dus voor $x = k \cdot 2\pi$ geldt $g'(x) = 2 \cdot f'(x)$ (dus dan is de helling van de grafiek van $g$ twee keer zo groot als de helling van de grafiek van $f$ ) [1]

Volgende opgave: Drie keer over de lijn →