Vierkant en driehoek

Opgave 3 (vraag 7 t/m 10) uit eindexamen Wiskunde B VWO 2025 tijdvak 2

Vraag 7

[B] Functies, grafieken en vergelijkingen[B1] Formules en functies[Getal en Ruimte] H9: Exponentiële en logaritmische functies[Moderne Wiskunde] H14: Exponentiële en logaritmische functies

4p

Vierkant en driehoek

De functie $f$ wordt gegeven door $f(x) = \ln(3x)$ . In figuur 1 zijn de grafiek van $f$ en het vierkant $PQRS$ weergegeven.

Voor vierkant $PQRS$ geldt:

elke zijde is evenwijdig met de $x$ -as of de $y$ -as;
de hoekpunten $P$ en $R$ liggen op de grafiek van $f$ ;
de $x$ -coördinaat van $R$ is drie keer zo groot als de $x$ -coördinaat $p$ van $P$ .

Bereken algebraïsch de coördinaten van $P$ . Geef je eindantwoorden in twee decimalen.

Figuur 1 bij vraag 7 van opgave Vierkant en driehoek (Wiskunde B VWO 2025)

Voor nakijken en persoonlijke tips van de AI-docent: Maak een foto van jouw antwoord of type het in.

Antwoordmodel

Vraag 7

4 punten

maximumscore 4

De coördinaten van $P$ zijn $(p, \ln(3p))$ en de coördinaten van $R$ zijn $(3p, \ln(9p))$ [1]
Er moet gelden $2p = \ln(9p) - \ln(3p)$ [1]
Dus $2p = \ln(3)$ [1]
Hieruit volgt ( $p = \frac{1}{2}\ln(3)$ dus) $x_P = 0{,}55$ en $y_P = 0{,}50$ [1]

Vraag 8

4 punten

maximumscore 4

$\ln(3x) = a$ geeft $x_B = \frac{1}{3}\text{e}^{a}$ [1]
$f'(x) = \frac{1}{x}$ [1]
De richtingscoëfficiënt van de raaklijn is $f'\left(\frac{1}{3}\text{e}^{a}\right) = \frac{3}{\text{e}^{a}}$ [1]
Een exacte toelichting waaruit volgt dat $y_C = a - 1$ (dus $AC = 1$ ) [1]

of

$f'(x) = \frac{1}{x}$ [1]
De richtingscoëfficiënt van de raaklijn is $\frac{1}{AB}$ [1]
De richtingscoëfficiënt van de raaklijn is ook $\frac{AC}{AB}$ [1]
Dit geeft $\frac{AC}{AB} = \frac{1}{AB}$ (dus $AC = 1$ ) [1]

Vraag 9

3 punten

maximumscore 3

Gebruik van de stelling van Pythagoras in driehoek $ACD$ geeft $AD = \sqrt{1 - L^2}$ [1]
(Omdat $L > 0$ geldt) $\text{Opp}(ACD) = \frac{1}{2} \cdot L \cdot \sqrt{1 - L^2}$ [1]
$\text{Opp}(ACD) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{L^2} \cdot \sqrt{1 - L^2} = \frac{1}{2}\sqrt{L^2 - L^4}$ [1]

Vraag 10

5 punten

maximumscore 5

$\frac{\text{d}(L^2 - L^4)}{\text{d}L} = 2L - 4L^3$ [1]
$\text{Opp}'(ACD) = \frac{2L - 4L^3}{4\sqrt{L^2 - L^4}}$ [1]
$\text{Opp}(ACD)$ is maximaal als $2L - 4L^3 = 0$ [1]
De oppervlakte van driehoek $ACD$ is maximaal voor $L^2 = \frac{1}{2}$ [1]
De maximale oppervlakte is $\frac{1}{4}$ [1]

of

$\text{Opp}(ACD)$ is maximaal als $L^2 - L^4$ maximaal is [1]
$\frac{\text{d}(L^2 - L^4)}{\text{d}L} = 2L - 4L^3$ [1]
$\text{Opp}(ACD)$ is maximaal als $2L - 4L^3 = 0$ [1]
De oppervlakte van driehoek $ACD$ is maximaal voor $L^2 = \frac{1}{2}$ [1]
De maximale oppervlakte is $\frac{1}{4}$ [1]

Volgende opgave: Twee lijnstukken met eindpunt P →