Rondom een top

Opgave 1 (vraag 1 t/m 2) uit eindexamen Wiskunde B VWO 2026 tijdvak 2

Vraag 1

[C] Differentiaal- en integraalrekening[C3] Integraalrekening[Getal en Ruimte] H11: Integraalrekening[Moderne Wiskunde] H12: Integreren

6p

Rondom een top

Voor $x \ge 0$ wordt de functie $f$ gegeven door $f(x) = -x^3 + 1\frac{1}{2}x$ .

Het punt $A(\frac{1}{2}\sqrt{2}, \frac{1}{2}\sqrt{2})$ is de top van de grafiek van $f$ .

De lijn $k$ met vergelijking $y = x$ snijdt de grafiek van $f$ in de oorsprong $O$ en in $A$ .

De lijn $l$ is de verticale lijn door $A$ .

Het gebied $V$ is de driehoek die wordt ingesloten door $k$ , $l$ en de positieve $x$ -as.

Het gebied $W$ ligt rechts van $l$ en wordt ingesloten door $l$ , de grafiek van $f$ en de positieve $x$ -as.

In figuur 1 zijn beide gebieden grijs weergegeven.

Onderzoek op exacte wijze of $V$ en $W$ gelijke oppervlakte hebben.

Figuur 1 bij vraag 1 van opgave Rondom een top (Wiskunde B VWO 2026)

Voor nakijken en persoonlijke tips van de AI-docent: Maak een foto van jouw antwoord of type het in.

Antwoordmodel

Vraag 1

6 punten

maximumscore 6

De oppervlakte van $V$ is $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{2} = \frac{1}{4}$ [1]
$-x^3 + 1\frac{1}{2}x = 0$ geeft ( $x = 0$ of) $-x^2 + 1\frac{1}{2} = 0$ [1]
$-x^2 + 1\frac{1}{2} = 0$ geeft $x = \sqrt{1\frac{1}{2}}$ (en $x = -\sqrt{1\frac{1}{2}}$ ) [1]
De oppervlakte van $W$ is $\int_{\frac{1}{2}\sqrt{2}}^{\sqrt{1\frac{1}{2}}} -x^3 + 1\frac{1}{2}x\,\text{d}x$ (of $\int_{\frac{1}{2}\sqrt{2}}^{\sqrt{1\frac{1}{2}}} \left(-x^3 + 1\frac{1}{2}x\right)\text{d}x$ ) [1]
Een primitieve van $-x^3 + 1\frac{1}{2}x$ is $-\frac{1}{4}x^4 + \frac{3}{4}x^2$ [1]
Grenzen invullen geeft oppervlakte $W = \frac{1}{4}$ (dus $V$ en $W$ hebben gelijke oppervlakte) [1]

Vraag 2

4 punten

maximumscore 4

De knik bevindt zich bij $x = \frac{1}{2}\sqrt{2}$ (en $y = \frac{1}{2}\sqrt{2}$ ), dus $p \cdot \frac{1}{2}\sqrt{2} - 1 = 0$ [1]
Dit geeft $p = \sqrt{2}$ [1]
In de knik zijn de hellingen (in het linker- en rechterdeel) $1 - \sqrt{2}$ en $1 + \sqrt{2}$ [1]
$(1 - \sqrt{2})(1 + \sqrt{2}) = -1$ (dus de hoek die de knik maakt is $90^{\circ}$ ) [1]

of

In de knik zijn de hellingen (in het linker- en rechterdeel) $1 - p$ en $1 + p$ [1]
De hoek die de knik maakt is $90^{\circ}$ als $(1 - p)(1 + p) = -1$ [1]
Dit is (voor $p > 0$ ) gelijkwaardig met $p = \sqrt{2}$ [1]
Dit is het geval als de knik zich in $A$ bevindt, want $\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{2} - 1 = 0$ [1]

Volgende opgave: Perforaties →