Opbrengst van zonnepanelen

Opgave 2 (vraag 4 t/m 6) uit eindexamen Wiskunde B VWO 2025 tijdvak 2

Vraag 4

[E] Meetkunde met coördinaten[E1] Meetkundige vaardigheden[Moderne Wiskunde] H15: Meetkunde: rekenen of redeneren[Getal en Ruimte] H3: Meetkunde

5p

Opbrengst van zonnepanelen

Op het platte dak van de uitbouw van een huis aan de Parallelweg 10A worden tien even grote zonnepanelen geïnstalleerd. De panelen worden op een stalen frame gemonteerd dat gekanteld is in de richting van het zuiden. Op het horizontale platte dak worden ze in twee rijen achter elkaar geplaatst. Zie de foto.

Voorafgaand aan de installatie heeft de leverancier een tekening gemaakt van een zijaanzicht van de opstelling van de panelen. Zie figuur 1, die ook vergroot op de uitwerkbijlage staat. In die situatie verwacht de leverancier maximale energieopbrengst.

Met behulp van deze tekening berekent de leverancier de lengte $b$ (in cm) van de te gebruiken panelen. In de tekening geldt:

de punten $P$ , $Q$ , $R$ en $S$ zijn de hoekpunten van twee panelen; punt $P$ ligt recht boven de linker dakrand en punt $S$ recht boven de rechter dakrand;
de panelen maken een hoek van $30^{\circ}$ met het dakoppervlak;
de lengte van de dakrand is 172 cm;
de lengte van $PQ$ en van $RS$ is $b$ cm;
$b$ is zo gekozen dat een zonnestraal door $Q$ , die een hoek van $28^{\circ}$ met de dakrand maakt, in $R$ terecht komt; in dat geval ligt de achterste rij panelen niet in de schaduw van de voorste rij panelen.

De rand en de dikte van de zonnepanelen worden in deze opgave buiten beschouwing gelaten.

Bereken algebraïsch de waarde van $b$ die de leverancier heeft berekend. Geef je eindantwoord in gehele centimeters. Je mag hierbij gebruikmaken van de uitwerkbijlage.

Figuur 2 bij vraag 4 van opgave Opbrengst van zonnepanelen (Wiskunde B VWO 2025)

⚠️ Uitwerkbijlage vereist

Uitwerkbijlage bij vraag 4 van opgave Opbrengst van zonnepanelen

Voor nakijken en persoonlijke tips van de AI-docent: Maak een foto van jouw antwoord of type het in.

Vraag 6

[C] Differentiaal- en integraalrekening[C3] Integraalrekening[Moderne Wiskunde] H17: Goniometrische functies[Getal en Ruimte] H11: Integraalrekening

5p

De buren op huisnummer 10B hebben ook zonnepanelen. De energieopbrengst van deze panelen wordt direct gebruikt of direct teruggeleverd aan de energiemaatschappij. Eventueel energieverlies wordt in deze opgave buiten beschouwing gelaten.

De energieopbrengst wordt onder andere gebruikt voor het opladen van een elektrische auto. Alle elektriciteit die tijdens het opladen wordt opgewekt, wordt direct in de accu van de auto opgeslagen. Zo wordt de accu met enkel zonne-energie opgeladen.

Op 31 augustus wordt het geleverde vermogen $P_{\text{B}}$ in kW tussen zonsopkomst en zonsondergang van de zonnepanelen op dit adres in een model benaderd met de formule:

P_{\text{B}} = -4{,}8\cos(0{,}23t)

Hierbij is $t$ de tijd in uren met $t = 7$ om 7.00 uur. De grafiek van $P_{\text{B}}$ is in figuur 3 weergegeven.

De energieopbrengst $E$ in kWh tussen twee tijdstippen $t_1$ en $t_2$ is te berekenen met de integraal:

E = \int_{t_1}^{t_2} P_{\text{B}}\,\text{d}t \quad \text{met } t_1 < t_2

Om 11.00 uur wordt de elektrische auto aan de laadpaal gekoppeld. De accu, met opslagcapaciteit 72 kWh, is op dat tijdstip voor de helft opgeladen.

Met behulp van de integraal $\int_{11}^{t_2} P_{\text{B}}\,\text{d}t$ kan worden berekend hoe lang het duurt tot de accu voor driekwart is opgeladen met de elektriciteit die door de panelen is opgewekt.

Bereken met behulp van primitiveren hoeveel minuten dat duurt. Geef je eindantwoord als geheel getal.

Figuur 1 bij vraag 6 van opgave Opbrengst van zonnepanelen (Wiskunde B VWO 2025)

Voor nakijken en persoonlijke tips van de AI-docent: Maak een foto van jouw antwoord of type het in.

Antwoordmodel

Vraag 4

5 punten

maximumscore 5

In driehoek $PQR$ geldt: $\frac{b}{\sin(28^{\circ})} = \frac{PR}{\sin(122^{\circ})}$ [1]
Hieruit volgt $PR = 1{,}806... \cdot b$ [1]
$RS' = (b\cos(30^{\circ}) =)\ 0{,}866... \cdot b$ (met $S'$ de loodrechte projectie van $S$ op de lijn door $P$ en $R$ ) [1]
Er geldt $1{,}806... \cdot b + 0{,}866... \cdot b = 172$ [1]
Dit geeft $b = 64$ (cm) [1]

of

$QQ' = (b\sin(30^{\circ}) =)\ 0{,}5b$ (met $Q'$ de loodrechte projectie van $Q$ op lijnstuk $PR$ ) [1]
Hieruit volgt $Q'R = \frac{0{,}5b}{\tan(28^{\circ})} = 0{,}940... \cdot b$ [1]
$PQ' = (b\cos(30^{\circ}) =)\ 0{,}866... \cdot b$ [1]
Er geldt $0{,}940... \cdot b + 2 \cdot 0{,}866... \cdot b = 172$ [1]
Dit geeft $b = 64$ (cm) [1]

of

$QQ' = PQ' \cdot \tan(30^{\circ})$ en $QQ' = Q'R \cdot \tan(28^{\circ})$ (met $Q'$ de loodrechte projectie van $Q$ op lijnstuk $PR$ ) [1]
Hieruit volgt $Q'R = PQ' \cdot 1{,}085...$ [1]
$Q'R = 172 - 2 \cdot PQ'$ , dus $172 - 2 \cdot PQ' = PQ' \cdot 1{,}085...$ [1]
Hieruit volgt $PQ' = 55{,}738...$ [1]
$PQ = \frac{55{,}738...}{\cos(30^{\circ})}$ , dus $b = 64$ (cm) [1]

Vraag 5

4 punten

maximumscore 4

De gegevens invullen geeft het stelsel $\displaystyle \begin{cases} 1{,}0 = p\cos(9q) + \sin(18q) \\ 2{,}9 = p\cos(18q) + \sin(36q) \end{cases}$ [1]
Hieruit volgt het stelsel $\displaystyle \begin{cases} p = \frac{1{,}0 - \sin(18q)}{\cos(9q)} \\ p = \frac{2{,}9 - \sin(36q)}{\cos(18q)} \end{cases}$ [1]
Beschrijven hoe de vergelijking $\frac{1{,}0 - \sin(18q)}{\cos(9q)} = \frac{2{,}9 - \sin(36q)}{\cos(18q)}$ kan worden opgelost [1]
Dit geeft $q = 0{,}231$ en $p = -3{,}804$ [1]

Vraag 6

5 punten

maximumscore 5

Er geldt $\int_{11}^{t_2} -4{,}8\cos(0{,}23t)\,\text{d}t = 18$ [1]
Een primitieve van $-4{,}8\cos(0{,}23t)$ is $-\frac{4{,}8}{0{,}23} \cdot \sin(0{,}23t)$ [1]
Grenzen invullen geeft de vergelijking $-20{,}86... \cdot (\sin(0{,}23t_2) - \sin(2{,}53)) = 18$ [1]
Dit geeft $t_2 = 14{,}930...$ [1]
Het opladen duurt 236 (min) (of 3 uur en 56 minuten) [1]

Volgende opgave: Vierkant en driehoek →