Minimale lengte en grenswaarde

Opgave 6 (vraag 10 t/m 11) uit eindexamen Wiskunde B VWO 2026 tijdvak 2

Vraag 10

[C] Differentiaal- en integraalrekening [C1] Afgeleide functies[Getal en Ruimte] H9: Exponentiële en logaritmische functies[Moderne Wiskunde] H14: Exponentiële en logaritmische functies

7p

Minimale lengte en grenswaarde

De functie $f$ wordt gegeven door $f(x) = x^2 \cdot \ln(\frac{1}{2}x)$ en de functie $g$ door $g(x) = x^2 \cdot \ln(x)$ .

In de figuur zijn de grafieken van $f$ en $g$ weergegeven.

Punt $A(\frac{2}{\sqrt{\text{e}}}, -\frac{2}{\text{e}})$ is de top van de grafiek van $f$ . Punt $B$ is de top van de grafiek van $g$ .

Door $A$ en $B$ worden vierkanten getekend waarvan de zijden evenwijdig zijn met de $x$ -as en $y$ -as. In de figuur zijn twee voorbeelden getekend van zo’n vierkant.

De lengtes van de zijde van alle mogelijke vierkanten zijn niet even groot.

Bereken algebraïsch de lengte van de zijde van het kleinst mogelijke vierkant. Geef je eindantwoord in vier decimalen.

Figuur 1 bij vraag 10 van opgave Minimale lengte en grenswaarde (Wiskunde B VWO 2026)

Voor nakijken en persoonlijke tips van de AI-docent: Maak een foto van jouw antwoord of type het in.

maximumscore 7

De afgeleide van $x^2$ is $2x$ en de afgeleide van $\ln(x)$ is $\dfrac{1}{x}$ [1]
$g'(x) = x^2 \cdot \dfrac{1}{x} + 2x \cdot \ln(x) = x + 2x \cdot \ln(x)$ [1]
Voor de $x$ -coördinaat van $B$ geldt $1 + 2\ln(x) = 0$ [1]
Dit geeft $\ln(x) = -\frac{1}{2}$ , dus $x_B = \dfrac{1}{\sqrt{\text{e}}}$ (of $0{,}60...$ ) [1]
$y_B = g\left(\dfrac{1}{\sqrt{\text{e}}}\right) = -\dfrac{1}{2\text{e}}$ (of $y_B = g(0{,}60...) = -0{,}18...$ ) [1]
De horizontale afstand tussen de toppen is $\dfrac{1}{\sqrt{\text{e}}}$ (of $0{,}60...$ ) en de verticale afstand is $\dfrac{3}{2\text{e}}$ (of $0{,}55...$ ) [1]
De gevraagde lengte is $0{,}6065$ [1]

of

Als op de grafiek van $f$ een vermenigvuldiging met $\frac{1}{2}$ ten opzichte van de $y$ -as wordt toegepast, ontstaat de grafiek die hoort bij de vergelijking $y = (2x)^2 \cdot \ln(\frac{1}{2} \cdot 2x)$ [1]
$(2x)^2 \cdot \ln(\frac{1}{2} \cdot 2x) = 4 \cdot x^2 \cdot \ln(x)$ [1]
Als op de grafiek van $y = 4 \cdot x^2 \cdot \ln(x)$ een vermenigvuldiging met $\frac{1}{4}$ ten opzichte van de $x$ -as wordt toegepast, ontstaat de grafiek van $g$ [1]
Dus $x_B = \frac{1}{2} \cdot x_A = \dfrac{1}{\sqrt{\text{e}}}$ (of $x_B = \frac{1}{2} \cdot x_A = 0{,}60...$ ) [1]
$y_B = \frac{1}{4} \cdot y_A = -\dfrac{1}{2\text{e}}$ (of $y_B = \frac{1}{4} \cdot y_A = -0{,}18...$ ) [1]
De horizontale afstand tussen de toppen is $\dfrac{1}{\sqrt{\text{e}}}$ (of $0{,}60...$ ) en de verticale afstand is $\dfrac{3}{2\text{e}}$ (of $0{,}55...$ ) [1]
De gevraagde lengte is $0{,}6065$ [1]

Antwoordmodel

Vraag 10

7 punten

maximumscore 7

De afgeleide van $x^2$ is $2x$ en de afgeleide van $\ln(x)$ is $\dfrac{1}{x}$ [1]
$g'(x) = x^2 \cdot \dfrac{1}{x} + 2x \cdot \ln(x) = x + 2x \cdot \ln(x)$ [1]
Voor de $x$ -coördinaat van $B$ geldt $1 + 2\ln(x) = 0$ [1]
Dit geeft $\ln(x) = -\frac{1}{2}$ , dus $x_B = \dfrac{1}{\sqrt{\text{e}}}$ (of $0{,}60...$ ) [1]
$y_B = g\left(\dfrac{1}{\sqrt{\text{e}}}\right) = -\dfrac{1}{2\text{e}}$ (of $y_B = g(0{,}60...) = -0{,}18...$ ) [1]
De horizontale afstand tussen de toppen is $\dfrac{1}{\sqrt{\text{e}}}$ (of $0{,}60...$ ) en de verticale afstand is $\dfrac{3}{2\text{e}}$ (of $0{,}55...$ ) [1]
De gevraagde lengte is $0{,}6065$ [1]

of

Als op de grafiek van $f$ een vermenigvuldiging met $\frac{1}{2}$ ten opzichte van de $y$ -as wordt toegepast, ontstaat de grafiek die hoort bij de vergelijking $y = (2x)^2 \cdot \ln(\frac{1}{2} \cdot 2x)$ [1]
$(2x)^2 \cdot \ln(\frac{1}{2} \cdot 2x) = 4 \cdot x^2 \cdot \ln(x)$ [1]
Als op de grafiek van $y = 4 \cdot x^2 \cdot \ln(x)$ een vermenigvuldiging met $\frac{1}{4}$ ten opzichte van de $x$ -as wordt toegepast, ontstaat de grafiek van $g$ [1]
Dus $x_B = \frac{1}{2} \cdot x_A = \dfrac{1}{\sqrt{\text{e}}}$ (of $x_B = \frac{1}{2} \cdot x_A = 0{,}60...$ ) [1]
$y_B = \frac{1}{4} \cdot y_A = -\dfrac{1}{2\text{e}}$ (of $y_B = \frac{1}{4} \cdot y_A = -0{,}18...$ ) [1]
De horizontale afstand tussen de toppen is $\dfrac{1}{\sqrt{\text{e}}}$ (of $0{,}60...$ ) en de verticale afstand is $\dfrac{3}{2\text{e}}$ (of $0{,}55...$ ) [1]
De gevraagde lengte is $0{,}6065$ [1]

Vraag 11

3 punten

maximumscore 3

$h(x) = \dfrac{x^2 \cdot \ln(x)}{x^2 \cdot \ln(\frac{1}{2}x)} = \dfrac{\ln(x)}{\ln(\frac{1}{2}x)} = \dfrac{\ln(x)}{\ln(\frac{1}{2}) + \ln(x)}$ (voor $x > 0$ ) [1]
$\lim_{x \to \infty} \dfrac{\ln(x)}{\ln(\frac{1}{2}) + \ln(x)} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{\ln(x)}{\ln(x)}}{\frac{\ln(\frac{1}{2})}{\ln(x)} + \frac{\ln(x)}{\ln(x)}}$ [1]
(De grenswaarde is) $\lim_{x \to \infty} \dfrac{1}{\frac{\ln(\frac{1}{2})}{\ln(x)} + 1} = \dfrac{1}{0 + 1} = 1$ [1]

Volgende opgave: Een gebroken wortelfunctie →