Logaritmische functies

Opgave 7 (vraag 16 t/m 18) uit eindexamen Wiskunde B VWO 2025 tijdvak 1

Vraag 16

[B] Functies, grafieken en vergelijkingen[B2] Standaardfuncties[Getal en Ruimte] H9: Exponentiële en logaritmische functies[Moderne Wiskunde] H14: Exponentiële en logaritmische functies

4p

Logaritmische functies

De functie $f$ wordt gegeven door $f(x) = |\ln(x + 1)|$ .

De functie $g_p$ wordt gegeven door $g_p(x) = \ln(px)$ voor $0 < p \le 1$ .

De grafiek van $g_p$ ligt geheel onder de grafiek van $f$ .

In figuur 1 is de grafiek van $f$ weergegeven. Ook is voor een waarde van $p$ de grafiek van $g_p$ weergegeven.

De lijn met vergelijking $x = a$ (met $a > 0$ ) snijdt de grafieken van $f$ en $g_p$ in de punten $A$ en $B$ .

Voor $p = 1$ is er een waarde van $a$ waarvoor geldt: $OB = OA + 2$

Bereken deze waarde van $a$ . Geef je eindantwoord in twee decimalen.

Figuur 1 bij vraag 16 van opgave Logaritmische functies (Wiskunde B VWO 2025)

Voor nakijken en persoonlijke tips van de AI-docent: Maak een foto van jouw antwoord of type het in.

Antwoordmodel

Vraag 16

4 punten

maximumscore 4

De afstand van $A$ tot $O$ is $\sqrt{a^2 + \ln^2(a + 1)}$ en de afstand van $B$ tot $O$ is $\sqrt{a^2 + \ln^2(a)}$ [1]
De vergelijking $\sqrt{a^2 + \ln^2(a)} - \sqrt{a^2 + \ln^2(a + 1)} = 2$ moet worden opgelost [1]
Beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost [1]
De gevraagde waarde van $a$ is $0{,}12$ [1]

Vraag 17

4 punten

maximumscore 4

Afstand $AB$ is $\ln(a + 1) - \ln(pa)$ [1]
$\ln(a + 1) - \ln(pa) = \ln\left(\frac{a + 1}{pa}\right)$ [1]
( $\frac{a + 1}{pa} = \frac{1 + \frac{1}{a}}{p}$ dus) $\lim_{a \to \infty} \left(\frac{1 + \frac{1}{a}}{p}\right) = \frac{1}{p}$ [1]
$\ln\left(\frac{1}{p}\right) = 1$ geeft $p = \frac{1}{\text{e}}$ [1]

of

Afstand $AB$ is $\ln(a + 1) - \ln(pa)$ [1]
$\ln(a + 1) - \ln(pa) = \ln(a + 1) - \ln(p) - \ln(a) = \ln\left(\frac{a + 1}{a}\right) - \ln(p)$ [1]
( $\frac{a + 1}{a} = 1 + \frac{1}{a}$ dus) $\lim_{a \to \infty} \left(\frac{a + 1}{a}\right) = 1$ [1]
$-\ln(p) = 1$ (ofwel $\ln(p) = -1$ ) geeft $p = \frac{1}{\text{e}}$ [1]

Vraag 18

6 punten

maximumscore 6

$h_q'(x) = \frac{1}{2x}$ (voor $x < 0$ ) [1]
Voor punten op de grafiek van $f$ met een negatieve $x$ -coördinaat geldt $y = -\ln(x + 1)$ [1]
Voor deze punten geldt $\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = -\frac{1}{x + 1}$ [1]
$\frac{1}{2x} = -\frac{1}{x + 1}$ geeft $x = -\frac{1}{3}$ [1]
Er moet gelden $\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1}{3}\right) + q = -\ln\left(\frac{2}{3}\right)$ [1]
Dit geeft $q = -\ln\left(\frac{2}{3}\right) - \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1}{3}\right)$ , dus de gevraagde waarde van $q$ is $0{,}95$ [1]