Een wortelfunctie en haar inverse

maximumscore 3

• Voor punten op de grafiek van $f$ geldt: $y = \sqrt{\frac{1}{2}x^2 - 1}$, dus voor de inverse geldt (door spiegeling in de lijn met vergelijking $y = x$) het verband $x = \sqrt{\frac{1}{2}y^2 - 1}$ [1]
• Dit geeft $x^2 + 1 = \frac{1}{2}y^2$ [1]
• Herleiden tot $y = \sqrt{2x^2 + 2}$ ($y = -\sqrt{2x^2 + 2}$ voldoet niet) (en dus zijn $f$ en $g$ elkaars inverse) [1]

of

• Voor punten op de grafiek van $g$ geldt: $y = \sqrt{2x^2 + 2}$, dus voor de inverse geldt (door spiegeling in de lijn met vergelijking $y = x$) het verband $x = \sqrt{2y^2 + 2}$ [1]
• Dit geeft $x^2 - 2 = 2y^2$ [1]
• Herleiden tot $y = \sqrt{\frac{1}{2}x^2 - 1}$ ($y = -\sqrt{\frac{1}{2}x^2 - 1}$ voldoet niet) (en dus zijn $f$ en $g$ elkaars inverse) [1]

of

• Er moet gelden $g(f(x)) = x$ (of $f(g(x)) = x$) [1]
• $g(f(x)) = \sqrt{2\left(\frac{1}{2}x^2 - 1\right) + 2}$ [1]
• Herleiden tot $\sqrt{x^2} = x$ ($\sqrt{x^2} = -x$ voldoet niet) (en dus zijn $f$ en $g$ elkaars inverse) [1]

maximumscore 5

• $\frac{\text{d}PQ}{\text{d}a} = 3\sqrt{2} - 4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{a^2 - 1}} \cdot 2a$ [2]
• $PQ$ is minimaal als $\frac{4a}{\sqrt{a^2 - 1}} = 3\sqrt{2}$ [1]
• Herleiden tot $16a^2 = 18(a^2 - 1)$ [1]
• Het antwoord $a = 3$ ($a = -3$ voldoet niet) [1]

of

• $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{2}x^2 - 1}} \cdot x$ [2]
• $PQ$ is minimaal als $f'(x) = 1$ [1]
• $\frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{2}x^2 - 1}} \cdot x = 1$ herleiden tot $x^2 = 4\left(\frac{1}{2}x^2 - 1\right)$ [1]
• Hieruit volgt $x = 2$ ($x = -2$ voldoet niet), dus $P(2, 1)$. Omdat $P$ op de lijn met vergelijking $y = -x + a$ ligt, volgt $a = 3$ [1]

of

• $g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2x^2 + 2}} \cdot 4x$ [2]
• $PQ$ is minimaal als $g'(x) = 1$ [1]
• $\frac{1}{2\sqrt{2x^2 + 2}} \cdot 4x = 1$ herleiden tot $4x^2 = 2x^2 + 2$ [1]
• Hieruit volgt $x = 1$ ($x = -1$ voldoet niet), dus $Q(1, 2)$. Omdat $Q$ op de lijn met vergelijking $y = -x + a$ ligt, volgt $a = 3$ [1]

Opmerking

Voor het eerste antwoordelement uitsluitend 0 of 2 scorepunten toekennen, tenzij de enige fout een rekenfout betreft (zie vakspecifieke regel 1). In dat geval mag 1 scorepunt worden toegekend.

maximumscore 6

• De grafiek van $f$ snijdt de $x$-as voor $x = 1{,}41...$ (of $x = \sqrt{2}$) [1]
• Lijn $k$ snijdt de grafiek van $g$ in het punt $(7, 10)$ [1]
• De oppervlakte is gelijk aan $\int_{0}^{1{,}41...} g(x)\,\text{d}x + \int_{1{,}41...}^{7} \left(g(x) - f(x)\right)\text{d}x + \int_{7}^{10} \left(-x + 17 - f(x)\right)\text{d}x$ [2]
• Beschrijven hoe deze oppervlakte berekend kan worden [1]
• De gevraagde oppervlakte is $29{,}24$ [1]

of

• De grafiek van $f$ snijdt de $x$-as voor $x = 1{,}41...$ (of $x = \sqrt{2}$) [1]
• Lijn $k$ snijdt de grafiek van $g$ in het punt $(7, 10)$ [1]
• De oppervlakte is gelijk aan een vierkant van 10 bij 10 waarvan drie stukken worden afgehaald, ofwel $10^2 - \frac{1}{2} \cdot 3^2 - 2 \cdot \int_{1{,}41...}^{10} f(x)\,\text{d}x$ [2]
• Beschrijven hoe deze oppervlakte berekend kan worden [1]
• De gevraagde oppervlakte is $29{,}24$ [1]

of

• De grafiek van $f$ snijdt de $x$-as voor $x = 1{,}41...$ (of $x = \sqrt{2}$) [1]
• Lijn $k$ snijdt de grafiek van $g$ in het punt $(7, 10)$ [1]
• De oppervlakte is gelijk aan $\int_{0}^{7} g(x)\,\text{d}x + \int_{7}^{10} (-x + 17)\,\text{d}x - \int_{1{,}41...}^{10} f(x)\,\text{d}x$ [2]
• Beschrijven hoe deze oppervlakte berekend kan worden [1]
• De gevraagde oppervlakte is $29{,}24$ [1]

of

• Lijn $k$ snijdt de grafiek van $g$ in het punt $(7, 10)$ [1]
• Beschrijven hoe $\int_{0}^{7} \left(g(x) - x\right)\text{d}x$ berekend kan worden [1]
• $\int_{0}^{7} \left(g(x) - x\right)\text{d}x = 12{,}369...$ [1]
• Het snijpunt van lijn $k$ met de lijn met vergelijking $y = x$ is $(8{,}5; 8{,}5)$ [1]
• De oppervlakte van de driehoek ingesloten door de lijn met vergelijking $y = x$, de lijn met vergelijking $x = 7$ en lijn $k$ is $\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1{,}5 = 2{,}25$ [1]
• De gevraagde oppervlakte is $(2 \cdot (12{,}369... + 2{,}25) =)\ 29{,}24$ [1]

Opmerkingen

• Bij het eerste en derde antwoordalternatief mag voor het derde antwoordelement 1 scorepunt worden toegekend als twee van de drie vlakdelen juist zijn.
• Bij het tweede antwoordalternatief mogen voor het derde antwoordelement geen scorepunten worden toegekend als alleen $10^2 - \frac{1}{2} \cdot 3^2$ genoemd is.

maximumscore 3

• Voor punten op de grafiek van $f$ geldt: $y = \sqrt{\frac{1}{2}x^2 - 1}$, dus voor de inverse geldt (door spiegeling in de lijn met vergelijking $y = x$) het verband $x = \sqrt{\frac{1}{2}y^2 - 1}$ [1]
• Dit geeft $x^2 + 1 = \frac{1}{2}y^2$ [1]
• Herleiden tot $y = \sqrt{2x^2 + 2}$ ($y = -\sqrt{2x^2 + 2}$ voldoet niet) (en dus zijn $f$ en $g$ elkaars inverse) [1]

of

• Voor punten op de grafiek van $g$ geldt: $y = \sqrt{2x^2 + 2}$, dus voor de inverse geldt (door spiegeling in de lijn met vergelijking $y = x$) het verband $x = \sqrt{2y^2 + 2}$ [1]
• Dit geeft $x^2 - 2 = 2y^2$ [1]
• Herleiden tot $y = \sqrt{\frac{1}{2}x^2 - 1}$ ($y = -\sqrt{\frac{1}{2}x^2 - 1}$ voldoet niet) (en dus zijn $f$ en $g$ elkaars inverse) [1]

of

• Er moet gelden $g(f(x)) = x$ (of $f(g(x)) = x$) [1]
• $g(f(x)) = \sqrt{2\left(\frac{1}{2}x^2 - 1\right) + 2}$ [1]
• Herleiden tot $\sqrt{x^2} = x$ ($\sqrt{x^2} = -x$ voldoet niet) (en dus zijn $f$ en $g$ elkaars inverse) [1]

maximumscore 5

• $\frac{\text{d}PQ}{\text{d}a} = 3\sqrt{2} - 4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{a^2 - 1}} \cdot 2a$ [2]
• $PQ$ is minimaal als $\frac{4a}{\sqrt{a^2 - 1}} = 3\sqrt{2}$ [1]
• Herleiden tot $16a^2 = 18(a^2 - 1)$ [1]
• Het antwoord $a = 3$ ($a = -3$ voldoet niet) [1]

of

• $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{2}x^2 - 1}} \cdot x$ [2]
• $PQ$ is minimaal als $f'(x) = 1$ [1]
• $\frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{2}x^2 - 1}} \cdot x = 1$ herleiden tot $x^2 = 4\left(\frac{1}{2}x^2 - 1\right)$ [1]
• Hieruit volgt $x = 2$ ($x = -2$ voldoet niet), dus $P(2, 1)$. Omdat $P$ op de lijn met vergelijking $y = -x + a$ ligt, volgt $a = 3$ [1]

of

• $g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2x^2 + 2}} \cdot 4x$ [2]
• $PQ$ is minimaal als $g'(x) = 1$ [1]
• $\frac{1}{2\sqrt{2x^2 + 2}} \cdot 4x = 1$ herleiden tot $4x^2 = 2x^2 + 2$ [1]
• Hieruit volgt $x = 1$ ($x = -1$ voldoet niet), dus $Q(1, 2)$. Omdat $Q$ op de lijn met vergelijking $y = -x + a$ ligt, volgt $a = 3$ [1]

Opmerking

Voor het eerste antwoordelement uitsluitend 0 of 2 scorepunten toekennen, tenzij de enige fout een rekenfout betreft (zie vakspecifieke regel 1). In dat geval mag 1 scorepunt worden toegekend.

maximumscore 6

• De grafiek van $f$ snijdt de $x$-as voor $x = 1{,}41...$ (of $x = \sqrt{2}$) [1]
• Lijn $k$ snijdt de grafiek van $g$ in het punt $(7, 10)$ [1]
• De oppervlakte is gelijk aan $\int_{0}^{1{,}41...} g(x)\,\text{d}x + \int_{1{,}41...}^{7} \left(g(x) - f(x)\right)\text{d}x + \int_{7}^{10} \left(-x + 17 - f(x)\right)\text{d}x$ [2]
• Beschrijven hoe deze oppervlakte berekend kan worden [1]
• De gevraagde oppervlakte is $29{,}24$ [1]

of

• De grafiek van $f$ snijdt de $x$-as voor $x = 1{,}41...$ (of $x = \sqrt{2}$) [1]
• Lijn $k$ snijdt de grafiek van $g$ in het punt $(7, 10)$ [1]
• De oppervlakte is gelijk aan een vierkant van 10 bij 10 waarvan drie stukken worden afgehaald, ofwel $10^2 - \frac{1}{2} \cdot 3^2 - 2 \cdot \int_{1{,}41...}^{10} f(x)\,\text{d}x$ [2]
• Beschrijven hoe deze oppervlakte berekend kan worden [1]
• De gevraagde oppervlakte is $29{,}24$ [1]

of

• De grafiek van $f$ snijdt de $x$-as voor $x = 1{,}41...$ (of $x = \sqrt{2}$) [1]
• Lijn $k$ snijdt de grafiek van $g$ in het punt $(7, 10)$ [1]
• De oppervlakte is gelijk aan $\int_{0}^{7} g(x)\,\text{d}x + \int_{7}^{10} (-x + 17)\,\text{d}x - \int_{1{,}41...}^{10} f(x)\,\text{d}x$ [2]
• Beschrijven hoe deze oppervlakte berekend kan worden [1]
• De gevraagde oppervlakte is $29{,}24$ [1]

of

• Lijn $k$ snijdt de grafiek van $g$ in het punt $(7, 10)$ [1]
• Beschrijven hoe $\int_{0}^{7} \left(g(x) - x\right)\text{d}x$ berekend kan worden [1]
• $\int_{0}^{7} \left(g(x) - x\right)\text{d}x = 12{,}369...$ [1]
• Het snijpunt van lijn $k$ met de lijn met vergelijking $y = x$ is $(8{,}5; 8{,}5)$ [1]
• De oppervlakte van de driehoek ingesloten door de lijn met vergelijking $y = x$, de lijn met vergelijking $x = 7$ en lijn $k$ is $\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1{,}5 = 2{,}25$ [1]
• De gevraagde oppervlakte is $(2 \cdot (12{,}369... + 2{,}25) =)\ 29{,}24$ [1]

Opmerkingen

• Bij het eerste en derde antwoordalternatief mag voor het derde antwoordelement 1 scorepunt worden toegekend als twee van de drie vlakdelen juist zijn.
• Bij het tweede antwoordalternatief mogen voor het derde antwoordelement geen scorepunten worden toegekend als alleen $10^2 - \frac{1}{2} \cdot 3^2$ genoemd is.