Een raaklijn met twee cirkels

Opgave 6 (vraag 14 t/m 15) uit eindexamen Wiskunde B VWO 2025 tijdvak 1

Vraag 14

[E] Meetkunde met coördinaten[E2] Algebraïsche methoden in de vlakke meetkunde[Moderne Wiskunde] H8: Vectoren[Getal en Ruimte] H10: Meetkunde met vectoren

4p

Een raaklijn met twee cirkels

Gegeven zijn de punten $A(-6, -6)$ en $B(-18, -2)$ .

Lijn $k$ is de lijn met vectorvoorstelling

\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 20 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}

Er bestaan twee cirkels $c_1$ en $c_2$ die voldoen aan de volgende eisen:

Punt $A$ en punt $B$ liggen op de cirkel.
De cirkel raakt aan lijn $k$ .

Cirkel $c_1$ heeft middelpunt $M_1$ en raakt aan lijn $k$ in het punt $R_1$ .

Cirkel $c_2$ heeft middelpunt $M_2$ en raakt aan lijn $k$ in het punt $R_2$ .

Zie de figuur. In de figuur is $c_2$ vanwege de grootte slechts gedeeltelijk weergegeven. Middelpunt $M_2$ valt buiten de figuur.

Voor een willekeurig punt $P$ op de middelloodlijn van $AB$ geldt: $P(p, 3p + 32)$

De loodrechte projectie van punt $P$ op lijn $k$ is $P'$ . Zie de figuur.

De coördinaten van $P'$ zijn $(-p - 6, p + 26)$ .

Bewijs dat de coördinaten van $P'$ juist zijn.

Figuur 1 bij vraag 14 van opgave Een raaklijn met twee cirkels (Wiskunde B VWO 2025)

Voor nakijken en persoonlijke tips van de AI-docent: Maak een foto van jouw antwoord of type het in.

Vraag 15

[B] Functies, grafieken en vergelijkingen [B5] Vergelijkingen en ongelijkheden[Getal en Ruimte] H14: Meetkunde toepassen[Moderne Wiskunde] H13: Cirkels

5p

Gegeven zijn de punten $A(-6, -6)$ en $B(-18, -2)$ .

Lijn $k$ is de lijn met vectorvoorstelling

\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 20 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}

Er bestaan twee cirkels $c_1$ en $c_2$ die voldoen aan de volgende eisen:

Punt $A$ en punt $B$ liggen op de cirkel.
De cirkel raakt aan lijn $k$ .

Cirkel $c_1$ heeft middelpunt $M_1$ en raakt aan lijn $k$ in het punt $R_1$ .

Cirkel $c_2$ heeft middelpunt $M_2$ en raakt aan lijn $k$ in het punt $R_2$ .

Voor een willekeurig punt $P$ op de middelloodlijn van $AB$ geldt: $P(p, 3p + 32)$

De loodrechte projectie van punt $P$ op lijn $k$ is $P'$ . De coördinaten van $P'$ zijn $(-p - 6, p + 26)$ .

$M_1$ en $M_2$ liggen, net als $P$ , op de middelloodlijn van $AB$ . Als $P$ samenvalt met $M_1$ , dan geldt dat $PP'$ gelijk is aan de straal van de bijbehorende cirkel en dus ook gelijk aan $PB$ en $PA$ . Met behulp hiervan kunnen de coördinaten van $M_1$ en $M_2$ worden berekend.

Bereken exact de coördinaten van $M_1$ en $M_2$ .

Figuur 1 bij vraag 15 van opgave Een raaklijn met twee cirkels (Wiskunde B VWO 2025)

Voor nakijken en persoonlijke tips van de AI-docent: Maak een foto van jouw antwoord of type het in.

Antwoordmodel

Vraag 14

4 punten

maximumscore 4

Een vectorvoorstelling van de lijn door $P$ , loodrecht op $k$ is $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p \\ 3p + 32 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ [1]
Voor het snijpunt met lijn $k$ geldt $\begin{cases} p + s = t \\ 3p + 32 + s = 20 - t \end{cases}$ [1]
Dit geeft $s = -2p - 6$ (of $t = -p - 6$ ) dus $x = -p - 6$ [1]
$y = 3p + 32 - 2p - 6 = p + 26$ (en dus zijn de coördinaten van $P'$ juist) [1]

of

Een vergelijking van lijn $k$ is $y = -x + 20$ [1]
Een vergelijking van de lijn door $P$ , loodrecht op $k$ is $y = x + 2p + 32$ [1]
Uit $x + 2p + 32 = -x + 20$ volgt $x = -p - 6$ [1]
$y = -(-p - 6) + 20 = p + 26$ (en dus zijn de coördinaten van $P'$ juist) [1]

of

De richtingscoëfficiënt van lijn $k$ is $-1$ (en $P'$ ligt op $k$ ) [1]
(Omdat $PP'$ loodrecht staat op $k$ , moet gelden:) de richtingscoëfficiënt van $PP'$ is gelijk aan 1 [1]
Dus $\frac{3p + 32 - (p + 26)}{p - (-p - 6)} = 1$ [1]
Hieruit volgt $2p + 6 = 2p + 6$ (ofwel dat de coördinaten van $P'$ juist zijn) [1]

Vraag 15

5 punten

maximumscore 5

$PP' = \sqrt{(-p - 6 - p)^2 + \left(p + 26 - (3p + 32)\right)^2} = \sqrt{8p^2 + 48p + 72}$ [1]
$PB = \sqrt{(-18 - p)^2 + \left(-2 - (3p + 32)\right)^2} = \sqrt{10p^2 + 240p + 1480}$ [1]
$PP' = PB$ herleiden tot $p^2 + 96p + 704 = 0$ (of een vergelijkbare kwadratische uitdrukking in $p$ ) [1]
Dit geeft $p = -8$ en $p = -88$ [1]
De gevraagde coördinaten zijn $(-8, 8)$ en $(-88, -232)$ [1]

Volgende opgave: Logaritmische functies →