Drie keer over de lijn

maximumscore 5

• Voor $0 \le x < \sqrt{a}$ geldt $f_a(x) = ax - x^3 + 3x$ [1]
• $f_a{}'(x) = a - 3x^2 + 3$ [1]
• Een exacte berekening waarbij uit $f_a{}'(x) = 0$ volgt dat de $x$-coördinaat van de top $\sqrt{\frac{1}{3}a + 1}$ is [1]
• $y_{top} = f_a\left(\sqrt{\frac{1}{3}a + 1}\right) = a\sqrt{\frac{1}{3}a + 1} - \left(\sqrt{\frac{1}{3}a + 1}\right)^3 + 3\sqrt{\frac{1}{3}a + 1}$ [1]
• $y_{top} = a\sqrt{\frac{1}{3}a + 1} - \left(\frac{1}{3}a + 1\right)\sqrt{\frac{1}{3}a + 1} + 3\sqrt{\frac{1}{3}a + 1} = \left(\frac{2}{3}a + 2\right)\sqrt{\frac{1}{3}a + 1}$ $\left(= 2\left(\frac{1}{3}a + 1\right)\sqrt{\frac{1}{3}a + 1}\right)$ [1]

Opmerking

Als wordt gewerkt met $f_a(x) = -ax + x^3 + 3x$, dan mogen voor deze vraag maximaal 3 scorepunten worden toegekend.

maximumscore 5

• $f_a\left(\sqrt{a}\right) = 3\sqrt{a}$ [1]
• Uit $3\sqrt{a} = 16$ volgt $a = \frac{256}{9}$ [1]
• $2\left(\frac{1}{3}a + 1\right)\sqrt{\frac{1}{3}a + 1} = 2\left(\frac{1}{3}a + 1\right)^{\frac{3}{2}}$ [1]
• Een exacte berekening waarbij uit $2\left(\frac{1}{3}a + 1\right)^{\frac{3}{2}} = 16$ volgt $a = 9$ [1]
• Voor $9 < a < \frac{256}{9}$ (of: als $a$ in het interval $\left\langle 9, \frac{256}{9}\right\rangle$ ligt,) (hebben de grafiek van $f_a$ en lijn $l$ drie snijpunten) [1]

maximumscore 5

• Voor $0 \le x < \sqrt{a}$ geldt $f_a(x) = ax - x^3 + 3x$ [1]
• $f_a{}'(x) = a - 3x^2 + 3$ [1]
• Een exacte berekening waarbij uit $f_a{}'(x) = 0$ volgt dat de $x$-coördinaat van de top $\sqrt{\frac{1}{3}a + 1}$ is [1]
• $y_{top} = f_a\left(\sqrt{\frac{1}{3}a + 1}\right) = a\sqrt{\frac{1}{3}a + 1} - \left(\sqrt{\frac{1}{3}a + 1}\right)^3 + 3\sqrt{\frac{1}{3}a + 1}$ [1]
• $y_{top} = a\sqrt{\frac{1}{3}a + 1} - \left(\frac{1}{3}a + 1\right)\sqrt{\frac{1}{3}a + 1} + 3\sqrt{\frac{1}{3}a + 1} = \left(\frac{2}{3}a + 2\right)\sqrt{\frac{1}{3}a + 1}$ $\left(= 2\left(\frac{1}{3}a + 1\right)\sqrt{\frac{1}{3}a + 1}\right)$ [1]

Opmerking

Als wordt gewerkt met $f_a(x) = -ax + x^3 + 3x$, dan mogen voor deze vraag maximaal 3 scorepunten worden toegekend.

maximumscore 5

• $f_a\left(\sqrt{a}\right) = 3\sqrt{a}$ [1]
• Uit $3\sqrt{a} = 16$ volgt $a = \frac{256}{9}$ [1]
• $2\left(\frac{1}{3}a + 1\right)\sqrt{\frac{1}{3}a + 1} = 2\left(\frac{1}{3}a + 1\right)^{\frac{3}{2}}$ [1]
• Een exacte berekening waarbij uit $2\left(\frac{1}{3}a + 1\right)^{\frac{3}{2}} = 16$ volgt $a = 9$ [1]
• Voor $9 < a < \frac{256}{9}$ (of: als $a$ in het interval $\left\langle 9, \frac{256}{9}\right\rangle$ ligt,) (hebben de grafiek van $f_a$ en lijn $l$ drie snijpunten) [1]