Draaierig

Opgave 5 (vraag 8 t/m 9) uit eindexamen Wiskunde B VWO 2026 tijdvak 2

Vraag 8

[D] Goniometrische functies [E3] Vectoren en inproduct[Moderne Wiskunde] H17: Goniometrische functies[Getal en Ruimte] H8: Goniometrische functies

4p

Draaierig

Punt $P$ beweegt volgens de bewegingsvergelijkingen:

\begin{cases} x(t) = \sin(t) - \cos(3t) \\ y(t) = \cos(t) + \sin(3t) \end{cases} \qquad \text{voor } 0 \le t \le 2\pi

Hierbij is $t$ de tijd in seconden. De baan van $P$ is weergegeven in figuur 1.

Op zes tijdstippen bevindt $P$ zich op de $y$ -as.

Bereken exact deze tijdstippen.

Figuur 1 bij vraag 8 van opgave Draaierig (Wiskunde B VWO 2026)

Voor nakijken en persoonlijke tips van de AI-docent: Maak een foto van jouw antwoord of type het in.

Vraag 9

[C] Differentiaal- en integraalrekening [C2] Technieken voor differentiëren[Getal en Ruimte] H14: Meetkunde toepassen[Moderne Wiskunde] H19: Bewegingsvergelijkingen

5p

Punt $P$ beweegt volgens de bewegingsvergelijkingen:

\begin{cases} x(t) = \sin(t) - \cos(3t) \\ y(t) = \cos(t) + \sin(3t) \end{cases} \qquad \text{voor } 0 \le t \le 2\pi

Hierbij is $t$ de tijd in seconden. De baan van $P$ is weergegeven in figuur 1.

Op de tijdstippen $t = \frac{1}{2}\pi$ en $t = \pi$ gaat $P$ door het punt $(1, -1)$ .

In $(1, -1)$ snijdt de baan zichzelf onder een bepaalde hoek.

Bereken op algebraïsche wijze deze hoek in graden. Geef je eindantwoord als geheel getal.

Figuur 1 bij vraag 9 van opgave Draaierig (Wiskunde B VWO 2026)

Voor nakijken en persoonlijke tips van de AI-docent: Maak een foto van jouw antwoord of type het in.

Antwoordmodel

Vraag 8

4 punten

maximumscore 4

Uit $x(t) = 0$ volgt $\sin(t) = \cos(3t)$ [1]
$\sin(t) = \sin(3t + \frac{1}{2}\pi)$ [1]
$t = 3t + \frac{1}{2}\pi + k \cdot 2\pi$ of $t = \pi - \left(3t + \frac{1}{2}\pi\right) + k \cdot 2\pi$ [1]
$t = \frac{3}{4}\pi$ , $t = 1\frac{3}{4}\pi$ , $t = \frac{1}{8}\pi$ , $t = \frac{5}{8}\pi$ , $t = 1\frac{1}{8}\pi$ en $t = 1\frac{5}{8}\pi$ [1]

Vraag 9

5 punten

maximumscore 5

$x'(t) = \cos(t) + 3\sin(3t)$ [1]
$y'(t) = -\sin(t) + 3\cos(3t)$ [1]
$\begin{pmatrix} x'(\frac{1}{2}\pi) \\ y'(\frac{1}{2}\pi) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \end{pmatrix}$ en $\begin{pmatrix} x'(\pi) \\ y'(\pi) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \end{pmatrix}$ [1]
$\cos(\varphi) = \dfrac{\begin{pmatrix} -3 \\ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix} -3 \\ -1 \end{pmatrix}\right| \cdot \left|\begin{pmatrix} -1 \\ -3 \end{pmatrix}\right|} = 0{,}6$ [1]
Dit geeft $\varphi = 53$ (°) [1]

of

$x'(t) = \cos(t) + 3\sin(3t)$ [1]
$y'(t) = -\sin(t) + 3\cos(3t)$ [1]
De richtingscoëfficiënten van de raaklijnen aan de baan in $(1, -1)$ zijn $\dfrac{y'(\frac{1}{2}\pi)}{x'(\frac{1}{2}\pi)} = \dfrac{-1}{-3}$ en $\dfrac{y'(\pi)}{x'(\pi)} = \dfrac{-3}{-1}$ [1]
Dit geeft de hoeken $18{,}4...$ (°) en $71{,}5...$ (°) [1]
De baan snijdt zichzelf onder een hoek van 53 (°) [1]

Volgende opgave: Minimale lengte en grenswaarde →