Cirkels in een cirkel

Cirkels in een cirkel

Gegeven is de cirkel $c_1$ met middelpunt $M$ en straal 3.

Verder zijn gegeven de cirkels $c_2$, $c_3$ en $c_4$, zó dat geldt:

• Cirkels $c_2$, $c_3$ en $c_4$ raken cirkel $c_1$.
• Cirkel $c_2$ heeft middelpunt $N$ en straal 2.
• Cirkel $c_3$ heeft middelpunt $P$ en straal $r$.
• Cirkel $c_4$ heeft middelpunt $Q$ en straal $r$.
• Cirkel $c_3$ en $c_4$ raken elkaar in punt $S$.
• Cirkels $c_3$ en $c_4$ raken $c_2$.

Zie de figuur. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.

Er geldt: $MS = \sqrt{9 - 6r}$

Bewijs dit. Je kunt hierbij gebruikmaken van de figuur op de uitwerkbijlage.

Gegeven is de cirkel $c_1$ met middelpunt $M$ en straal 3.

Verder zijn gegeven de cirkels $c_2$, $c_3$ en $c_4$, zó dat geldt:

• Cirkels $c_2$, $c_3$ en $c_4$ raken cirkel $c_1$.
• Cirkel $c_2$ heeft middelpunt $N$ en straal 2.
• Cirkel $c_3$ heeft middelpunt $P$ en straal $r$.
• Cirkel $c_4$ heeft middelpunt $Q$ en straal $r$.
• Cirkel $c_3$ en $c_4$ raken elkaar in punt $S$.
• Cirkels $c_3$ en $c_4$ raken $c_2$.

Er geldt: $MS = \sqrt{9 - 6r}$

Er geldt verder dat $MN = 1$.

Bereken exact de waarde van $r$. Je kunt hierbij gebruikmaken van de figuur op de uitwerkbijlage.