Vierdegraadsfunctie

Opgave 8 (vraag 18 t/m 19) uit eindexamen Wiskunde B HAVO 2024 tijdvak 1

Vraag 18

[D] Toegepaste analyse[D4] Toepassing afgeleide functies[Moderne Wiskunde] H11: Differentiëren[Getal en Ruimte] H6: De afgeleide functie

4p

De functie $f$ wordt gegeven door $f(x)=x^{4}-3x^{2}+2$

Bereken exact het minimum van $f$ .

Voor nakijken en persoonlijke tips van de AI-docent: Maak een foto van jouw antwoord of type het in.

Uitleg bij vraag 18

Kom je er niet uit? Begin met een hint. Klaar? Bekijk stap voor stap hoe je alle punten haalt.

Vraag 19

[C] Meetkundige berekeningen[C2] Algebraïsche methoden[Moderne Wiskunde] H5: Lijnen en afstanden[Getal en Ruimte] H7: Lijnen en cirkels

6p

Functie $f$ kan ook geschreven worden als $f(x)=(x^{2}-1)(x^{2}-2)$ . De grafiek van $f$ snijdt de x-as achtereenvolgens in de punten A, B, C en D. Het punt T is het snijpunt van de grafiek van $f$ met de y-as. Zie de figuur. In de figuur is $\angle ATC$ aangegeven.

Bereken algebraïsch deze hoek. Geef je eindantwoord in graden in één decimaal.

Figuur 1 bij vraag 19 van opgave Vierdegraadsfunctie (Wiskunde B HAVO 2024)

Voor nakijken en persoonlijke tips van de AI-docent: Maak een foto van jouw antwoord of type het in.

Uitleg bij vraag 19

Kom je er niet uit? Begin met een hint. Klaar? Bekijk stap voor stap hoe je alle punten haalt.

maximumscore 6

(Uit $f(x)=0$ volgt) $x^{2}=2$ of $x^{2}=1$ [1]
De x-coördinaat van A is $x=-\sqrt{2}$ (of -1,414...) en de x-coördinaat van C is $x=1$ [1]
De y-coördinaat van T is $f(0)=2$ [1]
(In driehoek OTA is $OA=\sqrt{2}$ en $OT=2$ , dus) $\tan(\angle OTA)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ (of 0,707...) en (in driehoek OCT is $OC=1$ en $OT=2$ , dus) $\tan(\angle OTC)=\frac{1}{2}$ [1]
Dit geeft $\angle OTA=35,26...(^{\circ})$ en $\angle OTC=26,56...(^{\circ})$ [1]
De gevraagde hoek is $(35,26...+26,56...=)61,8(^{\circ})$ [1]

of

(Uit $f(x)=0$ volgt) $x^{2}=2$ of $x^{2}=1$ [1]
De x-coördinaat van A is $x=-\sqrt{2}$ (of -1,414...) en de x-coördinaat van C is $x=1$ [1]
De y-coördinaat van T is $f(0)=2$ [1]
De richtingscoëfficiënt van de lijn door A en T is $\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$ (of 1,414...) en de richtingscoëfficiënt van de lijn door C en T is $-\frac{2}{1}=-2$ [1]
( $\tan(\alpha)=\sqrt{2}$ dus) de hoek die de lijn door A en T met de x-as maakt is 54,73...(°) en ( $\tan(\beta)=-2$ dus) de hoek die de lijn door C en T met de x-as maakt is (-)63,43...(°) [1]
De gevraagde hoek is $(180-54,73...-63,43...=)61,8(^{\circ})$ [1]

of

(Uit $f(x)=0$ volgt) $x^{2}=2$ of $x^{2}=1$ [1]
De x-coördinaat van A is $x=-\sqrt{2}$ (of -1,414...) en de x-coördinaat van C is $x=1$ [1]
De y-coördinaat van T is $f(0)=2$ [1]
$AC(=1--\sqrt{2})=1+\sqrt{2}$ (of 2,414...), $AT(=\sqrt{2^{2}+(\sqrt{2})^{2}})=\sqrt{6}$ (of 2,449...) en $CT(=\sqrt{2^{2}+1^{2}})=\sqrt{5}$ (of 2,236...) [1]
(Het gebruik van de cosinusregel geeft) $(1+\sqrt{2})^{2}=5+6-2\sqrt{5}\cdot\sqrt{6}\cdot\cos(\angle ATC)$ (of $2,414...^{2}=5+6-2\cdot2,236...\cdot2,449...\cdot\cos(\angle ATC)$ ) [1]
Dit geeft $\cos(\angle ATC)=\frac{(1+\sqrt{2})^{2}-11}{-2\sqrt{5}\cdot\sqrt{6}}$ (of $\cos(\angle ATC)=\frac{2,414...^{2}-11}{-2\cdot2,236...\cdot2,449...}=0,472...$ ), dus de gevraagde hoek is 61,8(°) [1]

Uitleg en antwoorden

Vraag 18

4 punten

maximumscore 4

$f^{\prime}(x)=4x^{3}-6x$ [1]
Uit $f^{\prime}(x)=0$ volgt $x(4x^{2}-6)=0$ [1]
Dit geeft $x^{2}=\frac{3}{2}$ (of $x=0$ ) (dus $x=-\sqrt{\frac{3}{2}}$ of $x=\sqrt{\frac{3}{2}})$ [1]
Het minimum van $f$ is $(\frac{3}{2})^{2}-3\cdot\frac{3}{2}+2=-\frac{1}{4}$ (of bijvoorbeeld $f(\sqrt{\frac{3}{2}})=-\frac{1}{4}$ ) [1]

Uitleg bij vraag 18

Vraag 19

6 punten

maximumscore 6

(Uit $f(x)=0$ volgt) $x^{2}=2$ of $x^{2}=1$ [1]
De x-coördinaat van A is $x=-\sqrt{2}$ (of -1,414...) en de x-coördinaat van C is $x=1$ [1]
De y-coördinaat van T is $f(0)=2$ [1]
(In driehoek OTA is $OA=\sqrt{2}$ en $OT=2$ , dus) $\tan(\angle OTA)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ (of 0,707...) en (in driehoek OCT is $OC=1$ en $OT=2$ , dus) $\tan(\angle OTC)=\frac{1}{2}$ [1]
Dit geeft $\angle OTA=35,26...(^{\circ})$ en $\angle OTC=26,56...(^{\circ})$ [1]
De gevraagde hoek is $(35,26...+26,56...=)61,8(^{\circ})$ [1]

of

(Uit $f(x)=0$ volgt) $x^{2}=2$ of $x^{2}=1$ [1]
De x-coördinaat van A is $x=-\sqrt{2}$ (of -1,414...) en de x-coördinaat van C is $x=1$ [1]
De y-coördinaat van T is $f(0)=2$ [1]
De richtingscoëfficiënt van de lijn door A en T is $\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$ (of 1,414...) en de richtingscoëfficiënt van de lijn door C en T is $-\frac{2}{1}=-2$ [1]
( $\tan(\alpha)=\sqrt{2}$ dus) de hoek die de lijn door A en T met de x-as maakt is 54,73...(°) en ( $\tan(\beta)=-2$ dus) de hoek die de lijn door C en T met de x-as maakt is (-)63,43...(°) [1]
De gevraagde hoek is $(180-54,73...-63,43...=)61,8(^{\circ})$ [1]

of

(Uit $f(x)=0$ volgt) $x^{2}=2$ of $x^{2}=1$ [1]
De x-coördinaat van A is $x=-\sqrt{2}$ (of -1,414...) en de x-coördinaat van C is $x=1$ [1]
De y-coördinaat van T is $f(0)=2$ [1]
$AC(=1--\sqrt{2})=1+\sqrt{2}$ (of 2,414...), $AT(=\sqrt{2^{2}+(\sqrt{2})^{2}})=\sqrt{6}$ (of 2,449...) en $CT(=\sqrt{2^{2}+1^{2}})=\sqrt{5}$ (of 2,236...) [1]
(Het gebruik van de cosinusregel geeft) $(1+\sqrt{2})^{2}=5+6-2\sqrt{5}\cdot\sqrt{6}\cdot\cos(\angle ATC)$ (of $2,414...^{2}=5+6-2\cdot2,236...\cdot2,449...\cdot\cos(\angle ATC)$ ) [1]
Dit geeft $\cos(\angle ATC)=\frac{(1+\sqrt{2})^{2}-11}{-2\sqrt{5}\cdot\sqrt{6}}$ (of $\cos(\angle ATC)=\frac{2,414...^{2}-11}{-2\cdot2,236...\cdot2,449...}=0,472...$ ), dus de gevraagde hoek is 61,8(°) [1]