Een cirkel met rakende en snijdende lijnen

maximumscore 5

• Een vergelijking van $j$ is $x=4$
• $y_{S}=(-\frac{2}{3}\cdot4+8=)\frac{16}{3}$
• De richtingscoëfficiënt van $m$ is dus gelijk aan $(\frac{\frac{16}{3}}{4}=)\frac{4}{3}$ (dus een vergelijking van $m$ is $y=\frac{4}{3}x$)
• Voor $Q$ geldt $\frac{4}{3}x=8$
• Een exacte berekening waaruit volgt $x_{Q}=6$

of

• Een vergelijking van $j$ is $x=4$
• $y_{S}=(-\frac{2}{3}\cdot4+8=)\frac{16}{3}$
• $RS=\frac{16}{3}$ met $R$ het snijpunt van $j$ en de x-as; $ST=(8-\frac{16}{3}=)\frac{8}{3}$ met $T$ het snijpunt van $j$ en $l$
• Driehoek $SQT$ is gelijkvormig met driehoek $SOR$ met factor $(\frac{8}{3}:\frac{16}{3}=)\frac{1}{2}$
• $QT=4\cdot\frac{1}{2}=2$, waaruit volgt dat $x_{Q}=(4+2)=6$

of

• Stel de coördinaten van punt $Q$ zijn $(6,8)$, dan is $y=\frac{8}{6}x$ de vergelijking van de lijn door $O$ en $Q$
• Voor het snijpunt van deze lijn met lijn $k$ geldt dan $\frac{8}{6}x=-\frac{2}{3}x+8$
• De x-coördinaat van het snijpunt is 4
• Een vergelijking van $j$ is $x=4$
• Het gevonden snijpunt ligt inderdaad op $j$ (dus geldt $Q(6,8)$)

maximumscore 5

• De richtingscoëfficiënt van $n$ is gelijk aan $(\frac{0-8}{12-6}=)-\frac{4}{3}$
• Lijn $n$ heeft vergelijking $y=-\frac{4}{3}x+b$ en gaat door $P(12,0)$, dus $b=16$ (Substitutie van $y=-\frac{4}{3}x+16$ in de vergelijking van $c$ geeft)
• $(x-4)^{2}+(-\frac{4}{3}x+16-4)^{2}=16$
• De herleiding tot een vergelijking van de vorm $ax^{2}+bx+c=0$, zoals $\frac{25}{9}x^{2}-40x+144=0$
• $D=(-40)^{2}-4\cdot\frac{25}{9}\cdot144=0$ (dus $c$ en $n$ hebben één punt gemeenschappelijk, dus lijn $n$ raakt cirkel $c$)

of

• De richtingscoëfficiënt van $n$ is gelijk aan $(\frac{0-8}{12-6}=)-\frac{4}{3}$
• Lijn $n$ heeft vergelijking $y=-\frac{4}{3}x+b$ en gaat door $P(12,0)$, dus $b=16$. Een berekening waaruit volgt dat $y=\frac{3}{4}x+1$ een vergelijking is van de lijn loodrecht op $n$ door het middelpunt $(4, 4)$ van $c$
• Een berekening van het snijpunt van deze lijn met lijn $n$ geeft $x=\frac{36}{5}$ en $y=\frac{32}{5}$
• $(\frac{36}{5}-4)^{2}+(\frac{32}{5}-4)^{2}=16$ (dus het snijpunt ligt op $c$, dus lijn $n$ raakt cirkel $c$)

maximumscore 5

• Een vergelijking van $j$ is $x=4$
• $y_{S}=(-\frac{2}{3}\cdot4+8=)\frac{16}{3}$
• De richtingscoëfficiënt van $m$ is dus gelijk aan $(\frac{\frac{16}{3}}{4}=)\frac{4}{3}$ (dus een vergelijking van $m$ is $y=\frac{4}{3}x$)
• Voor $Q$ geldt $\frac{4}{3}x=8$
• Een exacte berekening waaruit volgt $x_{Q}=6$

of

• Een vergelijking van $j$ is $x=4$
• $y_{S}=(-\frac{2}{3}\cdot4+8=)\frac{16}{3}$
• $RS=\frac{16}{3}$ met $R$ het snijpunt van $j$ en de x-as; $ST=(8-\frac{16}{3}=)\frac{8}{3}$ met $T$ het snijpunt van $j$ en $l$
• Driehoek $SQT$ is gelijkvormig met driehoek $SOR$ met factor $(\frac{8}{3}:\frac{16}{3}=)\frac{1}{2}$
• $QT=4\cdot\frac{1}{2}=2$, waaruit volgt dat $x_{Q}=(4+2)=6$

of

• Stel de coördinaten van punt $Q$ zijn $(6,8)$, dan is $y=\frac{8}{6}x$ de vergelijking van de lijn door $O$ en $Q$
• Voor het snijpunt van deze lijn met lijn $k$ geldt dan $\frac{8}{6}x=-\frac{2}{3}x+8$
• De x-coördinaat van het snijpunt is 4
• Een vergelijking van $j$ is $x=4$
• Het gevonden snijpunt ligt inderdaad op $j$ (dus geldt $Q(6,8)$)

maximumscore 5

• De richtingscoëfficiënt van $n$ is gelijk aan $(\frac{0-8}{12-6}=)-\frac{4}{3}$
• Lijn $n$ heeft vergelijking $y=-\frac{4}{3}x+b$ en gaat door $P(12,0)$, dus $b=16$ (Substitutie van $y=-\frac{4}{3}x+16$ in de vergelijking van $c$ geeft)
• $(x-4)^{2}+(-\frac{4}{3}x+16-4)^{2}=16$
• De herleiding tot een vergelijking van de vorm $ax^{2}+bx+c=0$, zoals $\frac{25}{9}x^{2}-40x+144=0$
• $D=(-40)^{2}-4\cdot\frac{25}{9}\cdot144=0$ (dus $c$ en $n$ hebben één punt gemeenschappelijk, dus lijn $n$ raakt cirkel $c$)

of

• De richtingscoëfficiënt van $n$ is gelijk aan $(\frac{0-8}{12-6}=)-\frac{4}{3}$
• Lijn $n$ heeft vergelijking $y=-\frac{4}{3}x+b$ en gaat door $P(12,0)$, dus $b=16$. Een berekening waaruit volgt dat $y=\frac{3}{4}x+1$ een vergelijking is van de lijn loodrecht op $n$ door het middelpunt $(4, 4)$ van $c$
• Een berekening van het snijpunt van deze lijn met lijn $n$ geeft $x=\frac{36}{5}$ en $y=\frac{32}{5}$
• $(\frac{36}{5}-4)^{2}+(\frac{32}{5}-4)^{2}=16$ (dus het snijpunt ligt op $c$, dus lijn $n$ raakt cirkel $c$)